Didattica a distanza: geometria, semirette, segmenti e angoli

GEOMETRIA

GLI ANGOLI

90 O 180º 53º 127º 110° 104° 237° C 154º 0 62º 45° 280℃ 0

OBIETTIVO MINIMO: UTILIZZARE LA NOMENCLATURA RELATIVA AGLI ANGOLIPERCORSO

CHE COSA SONO

COME SI RAPPRENTANO

IN QUALI POSIZIONI RECIPROCHE POSSONO TROVARSI

QUALI OPERAZIONI SI POSSONO ESEGUIRE

COME SI MISURANO

COME SI CONFRONTANOPERCORSO

U. D. A. «Gli Angoli»

• Che cos'è un angolo
• Confronto e posizione reciproca di due angoli
• Misurare gli angoli
• Classificare gli angoli in base allo loro ampiezza
• Operazioni con gli angoli
• Operare con misure angolari in forma sessagesimale
• Angoli complementari, supplementari, esplementari

Prerequisiti

Sai che cos'è una semiretta? Una semiretta è: OLa metà di una retta OCiascuna delle due parti in cui una retta è divisa da un suo punto OIl doppio di una retta OUna parte di retta epositphotos zoosito

Ripassiamo insieme

La semiretta

La semiretta è ciascuna delle due parti in cui una retta è divisa da un suo punto detto Origine delle due semirette. Un segmento è una parte di retta compresa tra due punti detti estremi del segmento AB.

Semiretta Estremi Origine 1 A Semiretta Semiretta B Semiretta Segmento

Ripassiamo insieme

Due segmenti sul piano prendono nomi particolari se hanno in comune un punto (che può essere un estremo o un punto qualsiasi) oppure più punti.

.A BEC A D A BEC D 8 se hanno in comune un estremo e nessun altro punto si dicono consecutivi

se sono consecutivi e appartengono alla stessa retta si dicono adiacenti

U E 0, B se hanno in comune un punto che non sia un estremo si dicono incidenti

A=C B=D se hanno tutti i punti in comune si dicono coincidenti

Angolo

Si dice Angolo ciascuna delle due parti di piano delimitata da due semirette che hanno la stessa Origine. Le due semirette si definiscono lati dell'angolo, la loro origine comune si definisce vertice dell'angolo. Lati e vertice appartengono a entrambi gli angoli.

sempiano S Angolo Lato Angolo Vertice sempiano O Lato r sempiano a Due semirette di origine comune individuano sempre due angoli

Angolo

Angolo giro Angolo piatto Angolo retto Un angolo è la parte di piano descritta da una semiretta che ruota intorno alla propria origine, in senso orario e in senso antiorario.

Angolo

r O Angolo concavo Angolo convesso Prolungamenti dei lati S L'angolo che contiene il prolungamento dei suoi lati si dice concavo. Per indicarlo si scrive rÕs L'angolo che non contiene il prolungamento dei suoi lati si dice convesso Per indicarlo si scrive rÔs

Angolo

r S S O r angolo piatto angolo giro Se i due lati sono semirette opposte, ciascuno degli angoli individuati, che non è né concavo né convesso, si chiama angolo piatto.

Se i due lati sono coincidenti l'angolo concavo, che corrisponde a tutto il piano, si chiama angolo giro; l'angolo convesso, compreso tra le due semirette si chiama angolo nullo.

Posizioni reciproche di due angoli

Altri modi per indicare un angolo

ABC A B ABC C Per segnare un angolo se ne può colorare anche solo uno "spicchio" o tracciare un archetto che congiunge i suoi lati. In tal caso, l'angolo si indica con una lettera minuscola dell'alfabeto greco: a, B, y, ... Se l'angolo è individuato da tre punti A, B, C non allineati, l'angolo convesso si indica scrivendo ABC o B e l'angolo concavo scrivendo ABC o B. Generalmente, quando parliamo di un angolo senza specificarne il tipo, ci riferiamo a un angolo convesso.

Confronto e posizione reciproca di due angoli

Anche gli angoli si possono confrontare e stabilire se sono congruenti, o quali dei due è maggiore o minore dell'altro. Primo caso: anche i lati s ed s' coincidono. Allora i due angoli sono perfettamente sovrapponibili, quindi sono congruenti.

S SES' a e ß coincidono S' sovrapposizione 8 r O O' r=r' O= 0' r' Secondo caso: i lati s ed s' non coincidono. Allora i due angoli sono diversi e saranno uno maggiore o minore dell'altro a se- conda che il primo contenga o sia contenuto nel secondo.

-- S s'" a contiene ß sovrapposizione 8 B O O' O = 0' α > β r r rEr' S S' « è contenuto in sovrapposizione S ... O r O' O = 0' αβ r=r a= ₿ 5 S --

Posizioni reciproche di due angoli

8 8 O Due angoli si dicono consecutivi se hanno in comune il vertice, un lato e nessun altro punto.

O Due angoli si dicono adiacenti se sono consecutivi e i due lati non comuni giacciono sulla stessa retta.

α, 8 o Due angoli si dicono opposti al vertice se hanno l'origine in comune e i lati di un angolo sono i prolungamenti dei lati dell'altro.

In particolare: · due angoli adiacenti formano un angolo piatto; · due angoli opposti al vertice sono congruenti (potremmo verificarlo copiando gli angoli dell'ultima figura su carta trasparente, poi sovrapponendo a con a e ß con B1).

Misurare gli angoli

Per misurare un angolo la grandezza che si prende in considerazione è l'ampiezza, che corrisponde alla sua apertura. L'unità di misura dell'ampiezza di un angolo è il grado. Il grado è l'angolo uguale alla 360esima parte dell'angolo giro e si indica con il simbolo . O Lo strumento adoperato per misurare l'ampiezza degli angoli è il goniometro.

MISURA DELL'AMPIEZZA DELL'ANGOLO lato vertice ampiezza del'angolo lato b

Misurare gli angoli

80 90 70 70 80 90 100 110 120 130 140 150 100 110 120 130 50 40 50 60 30 20 30 02 10 130 140 150 160 170 180 Il goniometro è uno strumento a forma di semicerchio (o di cerchio) sul bordo del quale vi è una scala graduata divisa in 180 parti uguali (360 nel caso del cerchio), ciascuna delle quali corrisponde a 1°. Per misurare un angolo si deve: · far coincidere il vertice dell'angolo con il centro del goniometro (A = O); · far passare un lato dell'angolo dallo "0" della scala graduata; · leggere, sempre sulla scala graduata, la misura dell'ampiezza dell'angolo in corrispondenza del suo secondo lato (60° nell'esempio in figura).

0 A 0 60 10 20 30 40 50 180 170 160 150 140 130 120 110 100 70 110 120 130 140 150 160 170 180 50 40 30 20 10 1 011 001 06 08 70 09 50 10 20 30 40 . 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 angolo di 60° misurando sul goniometro da O a sinistra angolo di 60 misurando l'ampiezza dell'angolo da 0 a destra B 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 110 120 130 140 150 160 170 180 90 100 80 0 01 02 140 150 160 170 180 1

Misurare gli angoli

I sottomultipli del grado e il sistema sessagesimale

Consideriamo l'angolo « della figura a lato. Esso è maggiore di 35° e minore di 36°, quindi per esprimere la sua misura esatta è necessario ricorrere ai sottomultipli del grado. I sottomultipli del grado sono il primo (1') e il secondo (1"). Per formare un grado occorrono 60 primi, e per formare un primo occorrono 60 se- condi:

35°< a < 36° 0 1° = 60' 1' = 60" 1° = 60' x 60 = 3600" In questo sistema la misura esatta di « è: a = 35° 40' 15" 35 gradi 40 primi 15 secondi Il sistema di misura degli angoli, dunque, non è decimale, ma sessagesimale, o in base 60, come per la grandezza tempo.

× 60 × 60 gradi primi secondi : 60 : 60

Esempi

« 4° = 4 × 60' =204' 10° = 10 × 3600"=36 000" 180"' =(180:60)’=3' 10' = 10 × 60"=600" 120' = (120 :60)°=2º 10 800" = (10 800 : 3600)° = 3º

Misurare gli angoli

La forma normale di una misura angolare

La misura di un angolo è scritta in forma normale se il numero dei primi e il numero dei secondi sono minori di 60. Consideriamo i seguenti angoli: « = 23° 56' 33" e 3 = 57° 81' 45" Nell'angolo « sia il numero dei primi sia quello dei secondi è minore di 60: pertanto diciamo che la misura di « è scritta in forma normale. Nell'angolo ß, invece, il nu- mero dei primi (81) supera 60. Per ridurre la sua misura in forma normale possiamo scrivere:

₿ = 57° + 81' + 45" = 57º + 60' + 21' + 45" = 45" = 57º + 1º + 21' + 58° + 21' + 45" =58º 21' 45" In questo modo anche il numero di primi è minore di 60, come quello dei secondi.

Classificare gli angoli in base alla loro ampiezza

AMPIEZZA NOME RAPPRESENTAZIONE 0° Angolo nullo 0° 90° Angolo retto è la quarta parte di un angolo giro: 4 x angolo retto = angolo giro per indicare un angolo retto si usa un quadratino al 90º posto di un archetto 180° Angolo piatto è la metà di un angolo giro e il doppio di un angolo retto 180° 360º 360° Angolo giro -- Compresa tra 0° e 90° Angolo acuto minore di un angolo retto < 90° Compresa tra 90° e 180° Angolo ottuso maggiore di un angolo retto e minore di un angolo piatto > 90° Compresa tra 0° e 180° Angolo convesso minore di un angolo piatto < 180° Compresa tra 180° e 360° Angolo concavo maggiore di un angolo piatto e minore di un angolo giro > 180° Gli angoli possono essere classificati in base alla loro misura.

Operazioni con gli angoli

SOMMA DI ANGOLI

D B -- + O O C ---- A ........ B DEA C 0 = 0' B D " - C O A B D 0 = 0' A=C Dati due (o più) angoli, per addizionarli bisogna disporli in modo che siano consecutivi, cioè con il vertice e un lato in comune. L'angolo compreso tra i due lati non comuni è l'angolo somma. Con riferimento alla figura a lato, si ha: AÔB + CÔD = CÔB La misura dell'angolo somma è uguale alla somma delle misure dei due angoli dati. Per esempio, se AOB = 35° e COD = 25° allora: AÔB + CÔD = 35° + 25° = 60°

DIFFERENZA DI ANGOLI

Dati due angoli, per sottrarli bisogna sovrapporli, così come abbiamo fatto per effettuare il confronto, in modo da far coincidere il vertice e un lato. L'angolo compreso tra i due lati non comuni è l'angolo differenza. Con riferimento alla figura a lato, si ha: AOB - COD = DOB La misura dell'angolo differenza è uguale alla differenza delle misure dei due angoli dati. Per esempio, se AOB = 60° e COD = 28° allora: AOB - CÔD = 60°-28° = 32°

Operazioni con gli angoli

D C --- B O A

MULTIPLO DI ANGOLI

D C B O A bisettrice dell'angolo rOs r O S Il multiplo di un angolo si ottiene sommando un angolo a se stesso 2, 3, 4, ... , n volte. Si ottiene così un angolo doppio, triplo, quadruplo, ... , dell'angolo assegnato. Per esempio, per costruire il triplo di un angolo a, cioè 3x, si dispongo- no tre angoli congruenti ad « in modo che siano consecutivi. L'angolo che si ottiene è il multiplo di a secondo il numero 3. Con riferimento alla figura a lato, si ha: 3 × AÒB = AÔD La misura del multiplo di un angolo « secondo il numero n è uguale a n volte la misura di a. Per esempio, se AOB = 50° allora: 3 × AÒB = 3 × 50° = 150°

SOTTOMULTIPLO E BISETTRICE DI UN ANGOLO

Il sottomultiplo di un angolo si ottiene dividendolo in due, tre, quattro, ... , n parti congruenti. Ogni angolo ottenuto rappresenta 111 2' 3 ' 4 ' ... , n 1 dell'angolo dato. Con riferimento alla figura a lato, si ha: AÔD : 3 = 1 AÔD = AÔB La misura del sottomultiplo di un angolo « secondo il numero n è uguale alla mi- sura di « divisa per n. Per esempio, se AOD = 120° allora: 1 AÔD = 120°: 3 = 40° 3 In particolare, quando dividiamo un angolo per due, la semiretta che ha origi- ne nel vertice dell'angolo e lo divide in due parti congruenti è la bisettrice dell'angolo.