Principios de la Resistencia de Materiales y su aplicación en el cálculo

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RESISTENCIA DE MATERIALES

Principios de Cálculo. Equilibrio y Esfuerzos

Prof. Dr. Jorge Crespo Álvarez

PRINCIPIOS DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES

www.uneatlantico.es La Resistencia de Materiales es una disciplina que se basa en tres principios o hipótesis fundamentales: el Principio de rigidez, el Principio de superposición y el Principio de Saint-Venant. La validez de los resultados obtenidos mediante esta teoría depende, básicamente, del grado de satisfacción de estos principios en el caso concreto en que se aplique.

PRINCIPIO DE RIGIDEZ

www.uneatlantico.es El Principio de rigidez es una consecuencia directa de la hipótesis de pequeños movimien- tos aplicada al análisis de estructuras y establece que "las ecuaciones de equilibrio se pueden formular sobre la geometría indeformada, es decir, sin considerar los movimientos provocados por el sistema de cargas."

V F1 1 V F 1 1 H H F2 f M F2 M 8 En la Figura 3.15 se ilustra la aplicación del Principio de rigidez. Bajo la hipótesis de pequeños movimientos (izquierda), las reacciones en el empotramiento sólo dependen de la geometría inicial y de las cargas (M = Fil); sin ella (derecha), las reacciones de- penden de la deformación de la estructura (M = F1 (l -8)+ F2f), y ésta es desconocida a priori.

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN

www.uneatlantico.es El principio de superposición implica que las reacciones, movimientos, tensiones y deformaciones que provoca sobre la estructura el estado de cargas original es igual a la suma de las reacciones, movimientos, tensiones y deformaciones que provocan los estados en los que éste se descompone. "los efectos que un sistema de fuerzas origina sobre una estructura son iguales a la suma de los efectos que originan cada una de las fuerzas del sistema actuando por separado".

F F2 C AO B 8c(F1,F2) F1 F2 C C Ao B + A& 8c(F2) B 8c(F1);

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN DE CARGAS

www.uneatlantico.es El principio de superposición implica que las reacciones, movimientos, tensiones y deformaciones que provoca sobre la estructura el estado de cargas original es igual a la suma de las reacciones, movimientos, tensiones y deformaciones que provocan los estados en los que éste se descompone. "los efectos que un sistema de fuerzas origina sobre una estructura son iguales a la suma de los efectos que originan cada una de las fuerzas del sistema actuando por separado".

F, F2 C . B F 1 F2 C C AO B + A

PRINCIPIO DE SAINT-VENANT

www.uneatlantico.es El Principio de Saint-Venant puede considerarse la verdadera piedra angular sobre la que se edifica la Resistencia de Materiales, ya que establece que "en una pieza prismática, las tensiones que actúan sobre una sección recta, alejada de los puntos de aplicación de un sistema de cargas, sólo dependen de la fuerza y del momento resultantes de las fuerzas situadas a un lado de la sección considerada".

F h F. h=M F h F.h=M F M ZONA DE APLICACIÓN En la práctica ingenieril, el estudio del estado tensional de un elemento estructural suele hacerse suponiendo que el Principio de Saint-Venant es aplicable a la totalidad de las secciones analizadas.

RESTRICCIONES GEOMÉTRICAS

www.uneatlantico.es Para que los principios fundamentales enunciados se cumplan y los resultados de la Resistencia de Materiales sean válidos, las piezas deben cumplir ciertas condiciones:

• Geometría de la directriz. En piezas de directriz curva, los radios de curvatura de ésta deben ser grandes en relación al canto de las piezas. Si esta relación es sufi- cientemente grande, los efectos de la curvatura pueden llegar a despreciarse en el análisis del comportamiento de las rebanadas y utilizar las expresiones obtenidas para piezas de directriz recta.

RESTRICCIONES GEOMÉTRICAS DE LAS SECCIONES

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• Geometría de las secciones:
  • Dimensiones. Las dimensiones transversales de las piezas, canto y ancho, deben ser pequeñas en relación a su longitud. Esto es necesario para que se cumplan el principio de Saint-Venant y las hipótesis de deformación de las secciones que se utilizan habitualmente. Por otro lado, las características geométricas de las secciones rectas deben asegurar que las piezas tengan la rigidez necesaria para que los movimientos sean pequeños. En general, son admisibles las relaciones canto/luz (h/l) siguientes:

h = = 1 10 a a 100 1 12 para piezas rectas de hormigón pretensado = a para piezas rectas de acero laminado l 1 h 1 = 40 1 1 a 25 1 35 1 para piezas rectas de hormigón armado h l 15 h 1 20 para arcos

RESTRICCIONES GEOMÉTRICAS DE SECCIONES VARIABLES

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• Geometría de las secciones:
  • Variación. En piezas de sección variable, la variación de las dimensiones transversales debe ser gradual y lenta. Las variaciones bruscas en las carac- terísticas geométricas de las secciones producen efectos locales que invalidan el principio de Saint-Venant.

ESFUERZOS EN UNA SECCIÓN

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F A 1 S (B) G (A) F B F G M A R A S (B) S R G G B (A) F B G M B A

ESFUERZOS EN UNA SECCIÓN: DEFINICIONES

www.uneatlantico.es se define como: Esfuerzo Axil N S Esfuerzo Cortante Ty 1 a la proyección de R según el eje y Z Esfuerzo Cortante T2 Momento Torsor Mt x Momento Flector My 1 a la proyección de M según el eje y z J - a) b) y y My M R (A) y Mx Tz N Z G G S S X X Z Z Momento Flector M2 (A) T.

RELACIÓN ENTRE ESFUERZOS Y TENSIONES

www.uneatlantico.es N = ; Ty = |Txy dS ; T= = == d (3.10) Mt = (Taxy -Txy Z) dS ; S My = Loads ; M. = - Oxy dS (3.11) S T xy y τ 'XZ dS 6 X My Mx x Z M. Z X

ESFUERZOS EN PIEZAS DE PLANO MEDIO

www.uneatlantico.es Consideremos una pieza de plano medio tal como la que se muestra en la Figura 3.24. Llamaremos XY al plano medio que, recordemos, contiene a la directriz, es plano de simetría de las secciones rectas y contiene también a las cargas que actúan sobre la pieza.

y y R T π/2 X N (B) Z M (A) G S Y X

ESFUERZOS EN PIEZAS DE PLANO MEDIO: CONVENCIONES

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y y y N' N T M', M X T' X I X · El esfuerzo axil N es positivo si es de tracción (según el sentido positivo del eje x en la cara frontal) y negativo si es de compresión. · El esfuerzo cortante T es positivo si hace girar la rebanada en sentido antihorario (según el sentido positivo del eje y en la cara frontal), y negativo en caso contrario. · El momento flector M es positivo si es antihorario sobre la cara frontal (según el sentido positivo del eje z en la cara frontal), y negativo en caso contrario.

ECUACIONES DE EQUILIBRIO EN PIEZAS RECTAS

www.uneatlantico.es Consideremos el equilibrio de una rebanada diferencial de una pieza recta de plano medio, sobre la que actúan unas fuerzas repartidas por unidad de longitud, de compo- nentes (px, Py) según los ejes coordenados, aplicadas en la directriz de dicha rebanada.

dx Py M Z Ty+dTy Mz+dM Z N Px G N+dN T. y X

ECUACIONES DE EQUILIBRIO EN PIEZAS RECTAS: DESARROLLO

www.uneatlantico.es Consideremos el equilibrio de una rebanada diferencial de una pieza recta de plano medio, sobre la que actúan unas fuerzas repartidas por unidad de longitud, de compo- nentes (px, Py) según los ejes coordenados, aplicadas en la directriz de dicha rebanada.

a) por equilibrio de fuerzas según el eje x: -N+ px dx + (N +dN) = 0 Px = - dN dx (3.12)

b) por equilibrio de fuerzas según el eje y: -Ty + py dx + (Ty + dTy) = 0 11 Py dTy dx (3.13)

c) por equilibrio de momentos respecto al centro de gravedad de la cara frontal: -M2 + Ty dx + (M2 + dM2) - Py ) = 0 dx2 dM2 => Ty= dx (3.14)

ECUACIONES DE EQUILIBRIO EN PIEZAS RECTAS: EJEMPLO 3.11.1

www.uneatlantico.es Ejemplo 3.11.1 Calcular los esfuerzos en la sección media de la pieza sometida a la acción de la carga p uniformemente repartida y a las fuerzas F y V que se indican (Figura 3.27). Datos: L = 10 m, h = 0, 80 m, b = 0, 35 m, p = 3kN/ m, F = 30kN y V = 15 kN.

y y p F (A) G X (B) Z G h/2 Tv V S b L/2 L/2 h/2 F

ECUACIONES DE EQUILIBRIO EN PIEZAS RECTAS: EJEMPLO 3.11.1 (CONTINUACIÓN)

www.uneatlantico.es Ejemplo 3.11.1 Calcular los esfuerzos en la sección media de la pieza sometida a la acción de la carga p uniformemente repartida y a las fuerzas F y V que se indican (Figura 3.27). Datos: L = 10 m, h = 0, 80 m, b = 0, 35 m, p = 3kN/m, F = 30kN y V = 15 kN.

y p T F (A) N GI X Z G h/2 M [v S b L/2 y h/2 M

ECUACIONES DE EQUILIBRIO EN PIEZAS RECTAS: EJEMPLO 3.11.1 (RESOLUCIÓN)

www.uneatlantico.es Ejemplo 3.11.1 Calcular los esfuerzos en la sección media de la pieza sometida a la acción de la carga p uniformemente repartida y a las fuerzas F y V que se indican (Figura 3.27). Datos: L = 10 m, h = 0, 80 m, b = 0, 35 m, p = 3kN/m, F = 30kN y V = 15 kN.

EFx = - F+ N=0 EFy = T +V - pL 2 =0 _MG = M-V=+ L 2 PL2 8 =0 Resolviendo se obtiene: N = 30 kN T = - 15 + 3.10 2 =0 M = 15 . 5 - 3.102 8 = 37. 5 kN . m que son los esfuerzos en la sección media de la viga.

ECUACIONES DE EQUILIBRIO EN PIEZAS RECTAS: EJEMPLO 3.11.2

www.uneatlantico.es Ejemplo 3.11.2 Calcular los esfuerzos en la sección media de la pieza sometida a las cargas que se indican (Figura 3.29).

y P P G x h F F S 1,5 P / 0,5 P L/6 L/6 L

ECUACIONES DE EQUILIBRIO EN PIEZAS RECTAS: EJEMPLO 3.11.2 (CONTINUACIÓN)

www.uneatlantico.es Ejemplo 3.11.2 Calcular los esfuerzos en la sección media de la pieza sometida a las cargas que se indican (Figura 3.29).

y y P T P M b/2 M G N x Z G b/2 h F (A) S 1,5 P a L/6 L/6 L/2

ECUACIONES DE EQUILIBRIO EN PIEZAS RECTAS: EJEMPLO 3.11.2 (RESOLUCIÓN)

www.uneatlantico.es Ejemplo 3.11.2 Calcular los esfuerzos en la sección media de la pieza sometida a las cargas que se indican (Figura 3.29).

Por equilibrio de la parte (A) puede escribirse (Figura 3.30): EFx = F+N=0 EFy = T + 1,5P - 2P = 0 _MG = M-1,5P=+=PL+=PL + Fh=0 1 2 L 6 Resolviendo, se tiene: N = - F T = 0,5P M = 0, 25PL - Fh que son los esfuerzos en la sección media de la pieza.

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