Metodi Quantitativi per la Finanza I: Valore Temporale del Denaro

Il Valore Temporale del Denaro

I beni oggetto delle operazioni finanziarie sono importi monetari C, il cui valore è assegnato in base ad una data unità di misura monetaria, fissata la valuta di riferimento, ad una scadenza t, e sono rappresentati dalla coppia (C, t).
Importi di denaro disponibili ad epoche diverse sono confrontabili solo se rapportati alla medesima epoca: vale infatti il principio di equivalenza finanziaria, in accordo al quale essi sono finanziariamente equivalenti se, riferiti al medesimo istante di tempo, risultano uguali.
Le operazioni finanziarie con cui illustrare tale principio sono:

C
-M
-
to
xx
-C
2
to
te

• legge di capitalizzazione: formalizza un procedimento che consente di calcolare il valore del capitale C disponibile in to, ad un'epoca tl noto come montante M è funzione del capitale C, della data iniziale t0, della data finale t1, della durata t = t1 - t0 e di un parametro i = tasso di interesse.
  Il montante è proporzionale a C.
  M= M (C, m, i)

I (t)
- flusso di interesse per unità di tempo
= C.v (mi)
t

Fattore di Capitalizzazione

i (t)
I (t)
M= C. re (t)
M= C + I (t)
i =_
I (t )
- flusso di interesse per unità di capitale e tempo
C.t
I(2)
400
= 200
2
0
2
M=C+ I(2)
2000
2000
C=2000
M=2400
2400=2000+400
I(2)
4.00
C.t
2000.2
operazioni di prestito:
l'importo C, che si riceve al tempo O, viene rimborsato in
ammontare M al tempo t1 > t0
operazione di investimento:
l'importo C, investito al tempo O, frutta M in tl > to
2400=2000 r (2) => M (x) = 1,2
=
4.00
= 0,2 =>20%
i (2)= I(2)
flusso di interesse per unità di capitale
CProprietà del fattore di capitalizzazione o montante
r(t)

• è definita per t€ [ot)
• tale che r(0) = 1
• è non decrescente (se derivabile r(t) >= 0 )
  =>M=1.x(t) => M= r(t)
  O
  0+
  t
  t+At
  M
  C
  C.re (t)
  C.r(t+At) M
  ->
  Mit)

re (t+ At)
i (tt+At) I(t. t+At)
d. r (++At)-C.r (t)
C.r (t)
Q. re (t)
Me (t+At)-r(t)
r(t)
At
re (t+At) ~ ~~ (t)
1
At
re (t)
Cim
=
re (t+At) - r (t)
·
1
r(t)
re(t)
Me'(t)
-> forza di interesse o intensità di interesse:
At->0
At
misura la sensibilità del fattore di montante rispetto
alle variazioni temporali, rapportato al fattore di
montante stesso
Si distinguono legge di capitalizzazione semplice, se l'interesse viene
corrisposto una sola volta a scadenza; legge di capitalizzazione composta, se
l'interesse viene capitalizzato per periodi prefissati.
Se si assume che l'interesse sia proporzionale alla durata, l'espressione analitica
della legge è lineare; se invece l'interesse viene aggiunto in ogni periodo al
capitale e fa anch'esso maturare interesse, l'espressione analitica della legge è
esponenziale.
M=C.re (t)
->
HP C=1
1
€1
CCapitalizzazione semplice (CS)
Si consideri un capitale C di cui si voglia calcolare il montante dopo un periodo
di durata t.
Il montante è proporzionale al capitale. M(Ct) - Cr(t)
Se si aggiunge la condizione che l'interesse sia disponibile solo alla fine del periodo di
impiego si ha:
per t = 1 si ha M(C,1 ) = C + Cil
· per t = 2 si ha M(C,2) = C + Ci + Ci = C(1 + 12) e così via
per ogni periodo t viene aggiunto un interesse costante I = Ci: si ha quindi la relazione
di ricorrenza M(C, t) = M(C, t-1) + Ci, da cui segue l'espressione del montante:
M= C. (1+i.t) -> FATTORE DI MONTANTE DEL REGIME SEMPLICE
r/t)1
re(t) = 1+i.t
->y = mx + q
t
1
re (t.)
iso
Cisco
Co=1
Cel.it
CA > Co
N =- 1
C1=0
-KiLO
O<C,<Co
OXC442
C=O
Se il pagamento dell'interesse è anticipato, C rappresenta il valore
nominale, C(1 - i t) l'importo effettivo del prestito al netto
dell'interesse
d = TASSO DI SCONTO
->
M=C ..
1
1-d.t
1+1La relazione M = C(1 + it), stabilisce un legame tra le quattro grandezze C, M, t ed i:

• noto il tasso di interesse i e la durata t, se è noto l'importo M di cui vuole disporre a scadenza, il capitale richiesto è C = M(1 + it);
• noti il capitale iniziale C e il tasso di interesse i, se si chiede per quanto tempo deve essere messo a frutto C per ottenere il montante M, la durata t è
  M-C
  Ci
  Più rilevante è il problema concernente la ricerca del tasso di interesse.
  Noti il capitale iniziale C e la durata t, il tasso di interesse è i = M-C
  Ct
  che per un prestito rappresenta il tasso di remunerazione, per un investimento il
  tasso di rendimento.
  La durata può essere misurata in t anni, m mesi e g giorni.
  Dato l'ampio uso nella pratica bancaria è utile ricordare le convenzioni sul conteggio
  dei giorni:
• interesse semplice esatto, se l'anno è solare, di 365 0 366 giorni
• interesse semplice ordinario, se l'anno è commerciale, di 360 giorni
• durata esatta, se ad ogni mese si attribuisce il numero di giorni come da calendario
• durata approssimata, se ogni mese viene considerato di 30 giorni
  La capitalizzazione semplice viene utilizzata per durate inferiori all'anno e solo
  raramente per sequenze di importi fino a due anni.
  Due tassi si dicono equivalenti se producono, ad una data futura e a parità di capitale,
  lo stesso montante ovvero gli stessi interessi.
  o
  7
  1
  1
  C
  7
  ( (1+i.e)=C.(1+i. 2)
  112
  C
  x+i.l = x+ i
  .2
  112
  ANNI
  SEMESTRALE
  i.1=i.
  .2
  C.(1+it) = C. (++N1/K
  .+2)
  K
  i = i
  1/2
  2
  0
  1
  0
  2 ANNI
  4 SEMESTRI
  .tx)
  C.(1+1.2)= C.(1+~]
  .
  4)
  x+i.l = x + i .t
  11K
  1=1
  11K
  TASSI EQUIVALENTI R.S
  i = i
  . K
  11K
  11K
  O

Capitalizzazione Composta (R.C)

Si consideri un'operazione che richiede il calcolo del montante di un capitale e si
supponga che il pagamento dell'interesse sia periodico.

• si ha reddito staccato se l'interesse viene corrisposto in periodi di ampiezza
  diversi in via posticipata o anticipata. Per alcuni titoli obbligazionari, il pagamento
  degli interessi avviene posticipatamente e semestralmente mediante cedole.
• si ha reddito incorporato se gli interessi vengono capitalizzati alla fine di ogni
  periodo in base al tasso effettivo di interesse e il capitale maturato diviene
  funzione del montante del periodo precedente.
  Gli interessi producono altri interessi.
  .20
  o tu
  te
  ts
  M(E)=C.(+i.t. );
  1
  -
  M(te)= M(t). (1+i.t.)
  Mit3)= M(te). (1+i.t3)
  M (t3)=
  C.(1+i.t.). (1+e.t2). (1+i. t3)
  M(te)
  M(te)
  +1=+2=+3=1
  M(t)= C. (1+i). (1+i). (1+i)
  M(3) = C. (1+i)3
  M (m)=C.(1+i)
  m
  I è direttamente proporzionale a C
  Non è direttamente proporzionale a t
  FATTORE DI MONTANTE (RC)
  MIT) 1
  RC RS
  C= 100
  t=3
  N= 2%
  M5
  "(REG SEMPL.) = C. ( 1+N.t) = 100 . ( 1+0,02.3) = 108
  1
  1
  1
  RS (1+it)
  Rc (1+1)
  (1+i)
  Nº (REG.COMP.)= C.(1+i)=100.(1+0,02)= 106,12
  TxOperazioni con durata non intera
  Il montante di un capitale unitario C = 1 rappresenta il fattore di capitalizzazione,
  r(t) = (1+i)'; se è anche t=1, r=1+i è il fattore di unitario di capitalizzazione; il
  fattore di capitalizzazione è annuo, se il periodo di riferimento è l'anno.
  Se la durata è frazionaria t = n+f, 0 < f < 1, il meccanismo di capitalizzazione
  richiederebbe di calcolare il montante con la convenzione lineare.
  Mentre più spesso si usa la convenzione esponenziale, anche se approssimata per
  difetto.
  O
  m
  8
  7
  ->
  t=m+g
  INTERA
  FRAZ.
  C
  M(t)=C. (+i)"
  +[C. (+)] i. 8
  T
  Convenzione lineare
  M(t)=[C.(1+i)m].(+i)
  Convenzione esponenziale
  m+8
  = C. (+N)". (17x) = C. (+i) = C. (1+i)
  I grafici di r(t) = (1+i) sono:
• per i > 0 curve esponenziali
  · per i = O rette
• per -1 < i < 0 curva negativa
  i>0
  N=O
  CINCO
  1
  9
  1
  Si definiscono equivalenti i tassi che, riferiti a periodi diversi rispetto alla stessa
  legge, rendono uguali i montanti.
• i = tasso annuo
  · i = tasso equivalente espresso in ragione di 1/k di anno
  · t = tempo in anni
• k = tempo in ragione di 1/k anno0
  1
  t=1
  K
  2
  MIR
  1+1 =11 +i)
  -
  11K
  i=(1+i.
  11K
  JK-1
  11K
  = V1+i -1 = (1+i) -1
  Per passare dalla capitalizzazione annua a quella frazionata, in cui si capitalizza k
  volte l'anno:
• se è noto il tasso periodale i
  1/K
  è sufficiente applicare le formule note dove n
  rappresenta il numero di periodi e non il numero di anni
• se è noto il tasso nominale annuo convertibile k volte SR = K.i
  11Kg
  ,
  l'equivalente tasso effettivo annuo è i = (1+ SK )^_^ , supposto che i termini i J/k
  siano capitalizzati appena disponibili. Si osservi che J è somma algebrica di k
  termini uguali a i ., che si possono interpretare come interessi staccati.
  SR = Ki
  11K
  C
  O ILK
  to
  5K
  =
  11K
  K
  SOTTOPERIODO
  · IN MODO GROSSOLANO
  11
  I=C.i.
  .1
  1/K
  1/K
  definisce l'intensità
  dell'interesse
  I
  - C. i
  T
  y
  I=C.N
  1
  1
  1/2
  QUADR.
  O
  Ija
  Iza
  17
  T2Q=C.N= 1
  VISQ=C.N . 1
  Io =C.i .1
  13
  +
  = (1+5x) tk
  11K
  1
  Cim Jk = Cim K. i
  k. (1+i) -1
  LIMITE NOTEVOLE
  K->00 K->
  lim
  08(x) -1
  - en a
  = lim
  (1+i) -1 = Cm (1+i)
  K->00
  1/K
  1/K
  1/K
  = Cim
  K->00
  11K
  8(x)=>0
  f(x)
  JK
  = Ei .1=> K.i
  11KINTENSITÀ
  =
  r' (t)
  LIFT+. Cm (1+i)
  = Cm (1+i)
  re(t)= (1+i)
  Legge di sconto o di attualizzazione
  0
  t
  VA = { (C, t, i)
  VA <C
  VA
  C
  = C.N (t, i)
  VA= C-S
  VA= C.N (t)
  Proprietà fattore di sconto
• definito per te [OT)
• tale che 5 (0) = 1
  · è non crescente (se derivabile ~ (t) =0)
  R.S
  r (t) = (1+ i.t)
  => N (t) = =
  1
  1+i.t
  VA
  VA = C. _ 1
  1+i.t
  C= VA (1+i.t)
  RIA
  d= i
  = i. 1
  Me (t)=
  1
  ~5 (t)= 1-d.t
  VA = C . (1-d.t)
  1+N
  1+1
  e-d.t
  R.C
  re (t) = (1+i)
  t
  v(t) = 1 _= (1+i)-+
  (1+i)t
  VA = C. _ 1
  (1+1)t
  Scindibilità (secondo Cantelli)
  Si dice che una legge di capitalizzazione è scindibile se il montante che si ottiene
  interrompendo la capitalizzazione e riprendendola immediatamente alle stesse
  condizioni, cioè con la stessa legge di capitalizzazione, è lo stesso che si otterrebbe
  senza interruzione.
  O
  T
  2-
  +
  2-2
  1-
  M=C. (1+1)
  C
  ->
  Y(T)
  M(T)-[C.(1+].(1+1=)
  Te
  T2
  T
  C
  T ------- > MIT)
  =C. (1+i)+ (1+1")
  T+Te
  =C. (+i)
  = C. (1+i)]
  t
  O
  +>
  C
  DI INTERESSE
  re (t)Il regime composto è scindibile.
  Il regime semplice e il regime degli interessi anticipati non scindibili.
  -> regime composto:
  re (t) = (1+i)
  FORZA DI
  =
  re'(t)
  -= Cm (1+i)
  INTERESSE
  r (t)
  -> INDIPENDENTE DAL TEMPO;
  SCINDIBILE
  -> regime semplice:
  r (t) = (1+it)
  FORZA DI
  re'(t)
  2
  1
  INTERESSE
  r (t)
  exit
  _> DIPENDENTE DAL TEMPO;
  NON SCINDIBILE

Le Rendite

È consuetudine definire rendita la successione se i termini, detti rate, hanno tutti
lo stesso segno e rappresentano importi positivi da incassare o importi negativi da
versare. La rendita può essere:

• costante -> se i termini sono tutti uguali
• variabile -> se i termini variano nel tempo in modo arbitrario o secondo leggi
  speciali, come una progressione aritmetica o geometrica
• periodica -> stesso periodo di tempo tra una rata e quella successiva; può
  essere annua, mensile, biennale
• non periodica -> il periodo di tempo fra una rata e l'altra è diverso
• posticipata -> se il primo termine è disponibile alla fine del periodo
• anticipata -> se la prima scadenza di importo coincide con l'inizio del primo
  periodo
• temporanea -> se il numero di periodi è finito
  perpetua/illimitata -> se contiene infiniti termini
• annua ->>
• frazionata ->
• immediata -> si usufruisce subito del godimento del bene
• differita -> prima di entrare in possesso del bene bisogna aspettare