Appunti sulla didattica della matematica: concetti figurali e misconcezioni

ORALE

La teoria dei concetti figurali

Applicato in geometria la nozione di concetto figurale si può spiegare come un'entità mentale controllato da un concetto, ma che preserva la sua spazialità. Nel concetto figurale gli aspetti concettuali figurali sono fusi completamente.

Per la psicologia bisogna distinguere tra CONCETTO ovvero l'idea, la rappresentazione di una classe di oggetti basata sulla loro caratteristica comune e IMMAGINE, che investono l'ambito sensoriale.

• I concetti figurali condividono con i concetti le proprietà di astrattezza, generalità, perfezione, stabilità.

Il fatto che le loro caratteristiche sono interamente determinati dalla definizione ed ai postulati della teoria formale in cui sono inseriti.

• Condividono con le immagini mentali le proprietà spaziali di forma, posizione e grandezza.

Differiscono dai disegni perché il disegno è un modello materiale concreto mentre il concetto è un oggetto materiale astratto. Inoltre il disegno è specifico mentre il concetto è sempre generale. Inoltre il disegno ha proprietà sensoriali e non spaziali (colore) mentre il concetto si estrae da queste proprietà.

Dunque per FISHBEIN esistono tre categorie di entità mentali riferibili agli oggetti geometrici:

1. La definizione
2. L'immagine (disegno)
3. Il concetto figurale

La definizione di un oggetto geometrico ne individua le proprietà caratteristiche. Quindi le interpretazioni delle componenti figurali di un oggetto dovrebbe essere completamente controllate dagli aspetti concettuali invece spesso l'aspetto visuale oblitera gli aspetti concettuali. Uno degli scopi dell'azione didattica è quindi armonizzare l'aspetto figurale con quello concettuale. Per esempio nell'altezza di un triangolo per tracciare le altezze occorre controllare concettualmente la definizione di altezza. Talvolta può essere utile mettere in crisi la certezza percettiva, visto che tende a predominare l'aspetto visuale su quello concettuale.

Le misconcezioni

È un concetto errato che però ha una sua logica interna. Non è escluso che per poter costruire un concetto si debba passare attraverso una misconcezione momentanea che poi viene risolta. Per apprendere un concetto lo studente si costruisce un'immagine, associando al concetto un significato intuitivo. 1Lo studente è portato a ritenere questa immagine "stabile e definitiva" ma se ricevo nuove informazioni deve adattare l'immagine precedente ad una nuova che deve conservare le informazioni della precedente e accordarsi con le nuove informazioni.

LE MISCONCEZIONI SECONDO D'AMORE

Se si giunge ad un'immagine I che resiste alla variazione delle richieste ed è abbastanza forte da inglobare tutte le nuove argomentazioni e informazioni portate dal concetto C allora si dice che : "l'immagine I è un modello M di C". Un modello non adeguato può dare luogo a un conflitto cognitivo, lo studio si sforza di mantenere fissa l'immagine anche in presenza di informazioni che la contraddicono. I casi di precoce formazione del modello danno luogo ai " modelli parassiti" e sarà molto difficile distruggere tale modello.

• Le misconcezioni evitabili dipendono direttamente dalla trasposizione didattica del sapere e quindi sono una diretta conseguenza delle scelte degli insegnanti.
• Le misconcezioni inevitabili dipendono indirettamente dalla trasposizione didattica, che deve partire da certe situazioni necessariamente non generali.

Per far emergere i miss concetti si deve spostare l'attenzione dei prodotti ai processi, usare il questionario (attenzione però perché in generale Miss concetti non sono riconoscibili attraverso domande dirette che innescano un meccanismo), intervista, discussione matematica in classe.

Il curriculum nascosto

Il curriculum nascosto è l'insieme delle interpretazioni dei messaggi dell'insegnante costruito dall'allievo nel corso della sua vita scolastica. Ogni studente ha il suo curriculum nascosto e non è facile rendere trasparenti questi curricoli.

Effetto TOPAZE

Esso si ha quando l'insegnante "anche involontariamente" trasmette il suo pensiero e modo di vedere determinate cose all'alunno.avviene soprattutto quando induce l'alunno a rispondere per come vorrebbe che lo faccia, lo guida fino a che non ottiene la risposta che si aspettava. Dunque l'insegnante credo di aver insegnato e l'alunno imparato. Esempio: "prima di iniziare devi stabilire il numero che ... " "metti per primo!" "Bravi!". L'attenzione si allontana dagli aspetti concettuali e si concentra sulla preoccupazione di capire cosa voglia l'insegnante. Per Brousseau in casi come questi l'insegnante non mostra attenzione verso l'apprendimento dell' alunno ma vuole fare in modo che si raggiunga comunque l'obiettivo prefissato, indipendentemente dalle modalità in cui ciò avviene e dalla quantità della comprensione da parte dell' alunno. Altro esempio: orologio, effetto costrittivo dell'insegnante, non ammette che il quadrato sia più evidente. 2

Effetto JOURDAIN

Si tratta di un fenomeno che si sviluppa quando gli allievi dicono qualcosa che si avvicina alle aspettative del docente e il docente la prendi come è buona per poi completarla in maniera da soddisfare le sue intenzioni. Esempio è Paolo che è un insegnante che ogni giorno sottopone un problema i suoi alunni, la sua modalità di lavoro è condiviso da molti insegnanti di matematica, è convinto che l'apprendimento si innesca il momento in cui attraverso un atto creativo si risolve un problema. Nel momento in cui propone il problema ha in mente anche le risposte e le successive riflessioni che possono condurre a questa, quindi pur di ottenere la risposta che lui stesso giudica il irrinunciabile per poter costruire conoscenze, tenta di facilitare in ogni modo. La sua ricerca di facilitazioni non è volontaria e consapevole ma i suoi alunni imparano ad aspettare le facilitazioni che prima o poi arriveranno. Una mattina Paolo assegna un compito che la maggioranza della classe non comprende. Lui crede di non aver svolto bene il suo lavoro e che possa garantire la soluzione al fallimento dei propri alunni. Paolo propone ai suoi allievi un problema che ritiene analogo al problema precedente. Dopo il fallimento Paolo risolve il problema per conto degli alunni mostrando loro la soluzione a tutti i vari momenti che portano a questa. Propone poi un nuovo problema simile a quello precedente e si raccomanda di cercare di utilizzare questa analogia. L'allievo risolve con successo il problema analogo e vive questo momento come un momento di successo e anche l'insegnante vive questo momento come un successo personale. In realtà per D'AMORE l'allievo produce la risposta esatta al problema non perché abbia compreso la sua necessità matematica o logica ma semplicemente perché è stabilito una somiglianza con un altro esercizio, quindi non ho fatto altro che riprodurre una soluzione già fatta ad altri per lui. L'allievo è consapevole del fatto che quella che è stata da lui assolta era una richiesta dell'insegnante e crederà di aver compreso la questione matematica mente non ha fatto altro che interpretare un'intenzione didattica espressa esplicitamente dall'insegnante e fornire la risposta attesa.

I principi che governano il processo di contare

I principi che governano il processo del contare sono cinque:

• Principio di INIETTIVITÀ (the one to one principle): essere in grado di accoppiare gli oggetti di uno schieramento consegni distinti (etichette) in modo che uno e uno solo segno sia usato per ogni oggetto.

Il bambino deve saper distinguere gli oggetti raccontati con quelli da contare (RIPARTIZIONE) 3Deve essere in grado di trovare etichette diverse per ogni nuovo oggetto da contare (ETICHETTAMENTO) I possibili errori si possono vedere nel processo di ripartizione (oggetti non contati contati più volte) ed errori nell'etichetta mento (stessa etichetta più di una volta) e nel coordinamento dei due processi. Il processo di ripartizione è più semplice se lo schieramento è ordinato.

• Principio DELL'ORDINE STABILE : l'etichetta devono essere scelte in un ordine stabile cioè il ripetibile, se ci sono molti oggetti si deve costruire una lista lunga e stabile per poter richiamare all'occorrenza tutte le etichette.
• Principio di CARDINALITÀ : l'etichetta finale ha un significato speciale e rappresenta una proprietà dell'intero insieme di oggetti. "Cardinalità dell'insieme" e rappresenta il numero degli oggetti dell'insieme.
• Principio di ASTRAZIONE: riguarda il "come contare" e significa che i primi tre principi si possono applicare a un qualsiasi schieramento di oggetti.
• Principio di IRRILEVANZA DELL'ORDINE : l'ordine di conteggio è irrilevante.

Liber abbaci

Il sistema di numerazione indo arabico è un sistema posizionale a base decimale che iniziò a penetrare lentamente nell'Occidente latino dal nono al X secolo a.C .. uno dei veicoli di diffusione più importanti è dato dall'opera di Leonardo pisano (detto Fibonacci) "Liber Abbaci". Leonardo pisano nasce poco dopo il 1170 a Pisa, una delle potenze economiche del bacino del Mediterraneo. Figlio di un mercante funzionario della dogana del Maghreb e decide che il figlio ha bisogno di farsi una cultura vera e lo porta dove sta lui per frequentare una scuola di matematica dove impara la numerazione in due arabica e gli algoritmi di calcolo. Intorno al 1202 scrisse "Liber abbaci", una summa della matematica araba che si apre con la descrizione del sistema di notazione posizionale decimale degli algoritmi di calcolo. Tra i contributi più rilevanti ricordiamo:

• Le cifre indo arabiche e la notazione posizionale
• Gli algoritmi di calcolo delle operazioni
• Algebra delle equazioni di primo e di secondo grado
• Matematica commerciale
• Relativa (matematica non finalizzata ad un problema concreto)

È scritto in latino e i destinatari naturali dell'opera sono il ceto medio mercantile che non parla più ormai questa lingua. È un'opera molto più ponderosa.

Artefatto cognitivo

L'artefatto è uno strumento concreto o non, è un "oggetto" prodotto dagli esseri umani che media il sapere, un artefatto cognitivo. L'esempio più comune nella pratica scolastica sono i libri di testo, carta e penna, lavagna. La costruzione del sapere passa attraverso un continuo dialogo con l'artefatto quindi come usiamo l'artefatto lo fa diventare uno strumento. 4