Biomeccanica dei tessuti: flessione della trave, Università degli Studi del Molise

Deformazione della trave

VERSITAS S UDIORUM M ICAE UTILITATI . UNIVER Ä OLISI . SCIENTIA Ä TIARUM AUGMENTIS REIPUBLIC UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DEL MOLISE Corso di Laurea in Ingegneria Medica Dipartimento di Medicina e Scienze della Salute Biomeccanica dei tessuti Prof. Ing. Domenico Gentile Flessione traveVERSITAS S Ä Ä . SCIENTLA ICAR U AUGMENTIS REIPUBLIC

Configurazione deformata

Deformazione della trave y P V V B A B A HA A x L/2 r y P L V VB A B A HA A V max L/2 Configurazione deformata L CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MEDICA DISEGNO ousU . Ä TIARUM UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DEL MOLISE

Configurazione indeformata

UDIORUM M TILITATI . UNIVER Configurazione indeformata xVERSITAS S Ä Ä ICAR U AUGMENTIS REIPUBLIC

Legame tra freccia e curvatura

Deformazione della trave r y P r V VB dx x v(x) A HAD V max L/2 L Legame tra freccia e curvatura Nel punto 1 freccia pari a v ed angolo di curvatura pari a 0 nel punto 2 freccia = v+dv ed angolo 0+de lunghezza tratto curva ds 2 1 de v x v+dv ds dx TUDIORUM AE UTILITATI . UNIVER oust . . SCIENTIARUM UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DEL MOLISE Al B x CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MEDICA DISEGNOTUDIORUM AE UTILITATI . UNIVER Ä . SCIENTIA ICAR U AUGMENTIS REIPUBLIC

Raggio di curvatura e curvatura

Deformazione della trave 2 1 de v x v+dv ds dx Raggio di curvatura sempre lo stesso per la simmetria e pari a: ds P = do La curvatura (inverso del raggio di curvatura): 1 de = p ds dv dx = tan 0 > 0 = tan-1 dv dx CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MEDICA DISEGNO ousul . Ä UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DEL MOLISE

Flessione pura e comportamento lineare elastico

VERSITAS SPERSITAS S UDIORUM Ä . SCIENTIARUM UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DEL MOLISE AUGMENTIS REIPUBLIC Deformazione della trave Nel caso di flessione pura C /1 de 1 R I 1 x z 1 1 2 = === de dx Nel caso di comportamento lineare elastico Ox = Es = - E- de My Jx >- > de dx M 1 = EJx p C yı DI 1 -- B - . y La soluzione dell'equazione differenziale fornisce la linea elastica della trave inflessa CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MEDICA DISEGNO oust . AE UTILITATI . UNIVER y MTUDIORUM TILITATI . UNIVER Ä . SCIENTIA Ä AUGMENTIS REIPUBLI

Equazione della linea elastica e rotazione

Deformazione della trave Equazione della linea elastica 1 p EJx = EJx Rigidezza flessionale LA SOLUZIONE DELL'EQUAZIONE DIFFERENZIALE FORNISCE LA FRECCIA V(X) DELLA CONFIGURAZIONE DEFORMATA DI UNA TRAVE SOGGETTA A MOMENTO FLETTENTE. EJ x 0 d2v dx2 lx2dx= [M(x)dx x dv E)x dx = 1ª 0 M(x)dx + C1 dv dx = tan 0 = 0 Rotazione della trave Integrando ancora EJ xV(x) = EJx 0 x dv - dx ax = f ("M(x)dx+ - dx + C2 Le costanti C1 e C2 sono determinate dalle condizioni al contorno in funzione dei vincoli imposti CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MEDICA DISEGNO VERSITAS S UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DEL MOLISE

Esempi di calcolo della freccia

Mensola incastrata con carico all'estremità

MVERSITAS S UDIORUM TILITATI . UNIVER Ä . SCIENTL Ä UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DEL MOLISE AUGMENTIS REIPUBLIC Deformazione della trave Esempi a) Calcolo della freccia di una mensola incastrata La trave a mensola AB (Figura 6.9a) ha sezione uniforme e sostiene un carico P all'estremità libera A. Si ricavino l'equazione della linea elastica, lo spostamento trasversale e la rotazione nel punto A. P A B B x x VA L L 1. M(x) =- P.x dx2 -P ·x EJ le condizioni al contorno sono: · v(L) = 0 (spostamento nullo nell'incastro B); · 0(L) = = = 0 (rotazione nulla nell'incastro B); dv dx -- Px2 + C1 2 1 C1=2 PI2 Er=/ P2+2PT2 dv dx Jv =- 1p2+2/PLEx+C2 CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MEDICA UDLUNO ousu . TIARUMVERSITAS S TUDIORUM AE UTILITATI . UNIVER ousUI . Ä Ä AUGMENTIS REIPUBLIC UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DEL MOLISE

Spostamento verticale e rotazione nel punto A

Deformazione della trave 0 =- 1 PL3 + 1 PL3 + C2 -+ C2 = - 1 PL3 비 v =- 공 P + 금 PLx-y PL v(x) = P (-x +312x-2L3) 6EJ PL} VA= 3EJ Per x=0 si trovano lo spostamento verticale e la rotazione nel punto A 0A= dx / A ( 金 ) 一 2 PL2 2EJ CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MEDICA DISEGNO · SCIENTIARUM ICAR UVERSITAS S TUDIORUM AE UTILITATI . UNIVER OUISUI . SCIENTIARUM Ä AUGMENTIS REIPUBLIC

Massimo spostamento trasversale e rotazione

Deformazione della trave y y 9 A B A B - x x V max L L/2 L/2 EJ d =- 29.2+2L·q x Il massimo spostamento trasversale si calcola per simmetria in x = _ L: Vmax 9 24EJ ( 云 +21 등 -D) =- 3 384EJ 5qL4 dove si verifica anche che la rotazione è nulla. CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MEDICA DISEGNO UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DEL MOLISE (a) (b) M(x)= 2L.a.x-29.2 >VERSITAS S TUDIORUM SAIND . LIVITILIn Ä . SCIENTIARUM ICAR U AUGMENTIS REIPUBLIC UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DEL MOLISE

Analisi di flessione, pendenza e taglio

y l= 500 mm x Carico, w w= 15 N/mm (a) R1 = 2024 w= 15 N/mm R2 = 212 |V Vo + x - VỊ (b) Mo M,-X (c) Momento, M Mo= M2= 0 + M EI0 + x El00 - (d) Ely x Flessione, Ely Yo= y := 0 (e) nazione della trave SEGNO Pendenza, EI0 01/2 = 0 - Taglio, V Vo = + 3750 N V2= - 3750 N OLISI .VERSITAS S TUDIORUM SAIND . LIVITILLn & OLISI . SCIENTIARUM UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DEL MOLISE AUGMENTIS REIPUBLIC

Rotazione e spostamento nel punto D

Deformazione della trave y P A B A x 7 UD L/4 3L/4 EJ dx2 deVAD 3P + nendo ×=Ls si calcolano rispettivamente la rotazione e lo spostamento nel punto D. Si osserva infine che, essendo la rotazione non nulla, lo spostamento trasversale in D non rappresenta lo spostamento mas- simo lungo la trave. PL2 32EJ (6.54) 3PL3 VD =- 256EJ (6.55) MAD=4X 3P B D x L/4 3L/4 (a) (b) 4