I Teoremi di Euclide: dimostrazione e applicazione del primo teorema

I Teoremi di Euclide

1º Teorema di Euclide

Dato il triangolo rettangolo ABC:

B

90

A

C

H

consideriamo i triangoli ABC e ABH simili

B

B

90

1.

901

H

C

A

A

I due triangoli sono simili perché se consideriamo gli angoli:

• l'angolo A è comune a tutti e due (è quindi lo stesso);
• i due triangoli hanno entrambi un altro angolo che è retto (l'angolo in B per il primo triangolo e
  l'angolo in H per il secondo triangolo;
• visto che la somma degli angoli interni di un triangolo misura 180°, il terzo angolo dovrà per forza
  essere congruente (l'angolo in C del primo triangolo e l'angolo in B del secondo)Stabilito che i due triangoli rettangoli sono simili, vediamo adesso quali sono i lati
  corrispondenti:

B

B

90

90

O

C

A

H

A

triangolo ABC
ipotenusa
cateto minore
cateto maggiore

triangolo ABH
AB
AH
BH

AC
AB
BC

ALLORA POSSIAMO SCRIVERE LA PROPORZIONE:

AC : AB = AB : AH

in parole:

in un triangolo rettangolo un cateto (AB) è
medio proporzionale tra l'ipotenusa (AC) e
la proiezione del cateto stesso
sull'ipotenusa (AH)Per il triangolo ABC allora, possiamo scrivere le proporzioni:

B

90

A

C

H

AC : AB = AB : AH
e
AC : BC = BC : HC (*)

noti due dei tre elementi, le proporzioni possono essere utilizzate per calcolare:

2

• l'ipotenusa AC =
  AB 2
  AH
  AC =
  BC
  HC
• un cateto AB =V AC x AH
  BC =VAC x HC
• la proiezione del cateto sull'ipotenusa AH =
  2
  AC
  AB
  2
  HC =
  BC
  AC

(*)
si ricava dal confronto tra i triangoli simili ABC e BCHProblema
Calcola il perimetro di un triangolo rettangolo
in cui il cateto minore è lungo 6 cm e la sua

Dati e Incognita

DATI
AB = 6 cm
AH = 3,6 cm

INCOGNITA
2p = ?

B

90

6 cm

A

H

C

3,6 cm

Risoluzione del problema

RISOLUZIONE
per calcolare il perimetro, devo prima calcolare i lati mancanti:

AC = AB _62 362
(applicando il 1° teor. di AC = -
AH
3,6
3,6
= 10 cm
Euclide)

(applicando il teor. di
Pitagora)

BC =VAC -- AB =\10-6=\100 -36 =|64 = 8 cm
2p = AC + AB + BC = 10 + 6 + 8 = 24 cmINTERPRETAZIONE GEOMETRICA DEL 1º TEOREMA DI EUCLIDE

G

E

Area di poli3 = 80

B

Area di poli2 = 20

906

H

A

C

Area di HCKL = 80
Area di AHLJ = 20

J

L

K

"In ogni triangolo rettangolo il
quadrato costruito sul cateto è
equivalente al rettangolo che ha
per dimensioni la sua
proiezione sull'ipotenusa e
l'ipotenusa stessa"

Infatti da: AC : AB = AB : AH
deriva: AB- = AH x AC*
T
area del quadrato
costruito sul cateto

area del rettangolo
AHJL *poiché AJ = AC

e da: AC : BC = BC : HC
deriva:
BC -= HC x AC*
T
area del quadrato
costruito sul cateto

area del rettangolo
HCKL *poiché CK = AC

2º Teorema di Euclide

Dato il triangolo rettangolo ABC:

B

90

A

C

consideriamo i triangoli ABH e BHC simili

B

B

901

H

90º

A

H

I due triangoli sono simili perche se consideriamo gli angoli:

• l'angolo in H è retto in entrambi i triangoli;
• gli angoli ABH e BCH sono congruenti poiché:
  [
  ABH + HBC = 90°
  BCH + HBC = 90°
• gli angoli HBC e BAH sono congruenti poiché:
  [
  HBC + ABH = 90°
  BAH + ABH = 90°

C

O

HStabilito che i due triangoli rettangoli sono simili, vediamo adesso quali sono i lati
corrispondenti:

B

B

90

A

H

H

C

triangolo ABH
ipotenusa
cateto minore
cateto maggiore

triangolo BCH
BC
BH
HC

AB
AH
BH

ALLORA POSSIAMO SCRIVERE LA PROPORZIONE:

AH : BH = BH : HC

in parole:

in un triangolo rettangolo l'altezza relativa
all'ipotenusa (BH) è medio proporzionale
tra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa
(AH e HC)Per il 2° teorema di Euclide
allora, possiamo scrivere:

AH : BH = BH : HC

B

90

A

C

H

e dalla proporzione possiamo ricavare:

• l'altezza del triangolo: BH =VAH x HC
• la proiezione del cateto minore sull'ipotenusa:
  AH =
  2
  BH
  HC
• la proiezione del cateto maggiore sull'ipotenusa: HC =
  AH
  BH
  2problema
  L'altezza relativa all'ipotenusa di un triangolo
  rettangolo misura 7,2 cm e la proiezione del cateto
  minore sull'ipotenusa 5,4 cm. Calcola il perimetro

B

90

7,2 cm

A

0

I

5,4 cm

Risoluzione del problema con il 2° Teorema

RISOLUZIONE
calcolo la proiezione del cateto maggiore sull'ipotenusa (HC) utilizzando il 2° teor. di Euclide:
(AH : BH = BH : HC)

HC =
BH2_ 7,22 51,84
= 9,6 cm
AH
5,4
5,4

adesso posso trovare il valore dell'ipotenusa AC:
AC = AH + HC = 5,4 + 9,6 = 15 cm

possiamo calcolare i due cateti del triangolo ABC applicando invece il 1º teor. di Euclide:
AB =VAC x AH =\15 x 5,4 =\81 = 9 cm
(AC : AB = AB : AH)

(AC : BC = BC : HC)
(2)
BC =VAC x HC = \15 x 9,6 =\144 = 12 cm

e infine il perimetro:
2p = AC + AB + BC = 15 + 9+12 = 36 cm
(*) possono essere calcolati anche applicando il teor di Pitagora ai triangoli rettangoli ABH e BCH

Dati e Incognita del problema

DATI
BH = 7,2 cm
AH = 5,4 cm

INCOGNITA
2p = ?

Interpretazione geometrica del 2° Teorema di Euclide

INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DEL 2° TEOREMA DI EUCLIDE

E

B

E

B

90

90€

Area di poli2 = 16
Area di poli2 = 16

A

H

C

F

H

C

Area di HGIC = 16

1

G

"In ogni triangolo rettangolo il
quadrato costruito sull'altezza
relativa all'ipotenusa è
equivalente al rettangolo che ha
per dimensioni le proiezioni dei
cateti l'ipotenusa stessa"

Area di ADGH = 16

D

G

HB -= AH x HC

F

A