Numeri complessi: definizione, operazioni e forma trigonometrica per l'Università

Numeri Complessi

Un numero complesso è un'espressione della forma a + ib, dove a, b E R e ¡2 = - 1. i è detta unità immaginaria e, naturalmente, non è un numero reale. L'insieme dei numeri complessi si indica con C.

La somma e la moltiplicazione di due numeri complessi segue le solite regole del calcolo algebrico, ricordando sempre che i2 = - 1. Dunque: (a+ ib) +(c+id)=(a+c)+i(b+d) e (a+ ib)(c+ id) = ac + iad + ibc + i2bd = = ac + iad + ibc - bd = (ac - bd) + i(ad + bc).

Se z = a + ib E C, allora a è detta parte reale di z e b è detta parte immaginaria di z e scriviamo: a = Re(z) e b = Im(z).

1/12I numeri complessi con parte immaginaria nulla sono numeri reali, mentre i numeri complessi della forma ib sono detti immaginari puri.

Coniugato di un Numero Complesso

Sia z = a + ib E C. Il numero complesso: Z = a - ib è detto coniugato di z. Osserviamo facilmente che: z+z=2a zz = (a + ib)(a- ib) = a2 -12b2 = a2 + b2.

Chiaramente, z è il coniugato di z, per cui z = z. Un numero complesso è reale se e solo se coincide con il proprio coniugato. Inoltre, per ogni z, v E C si ha: z+v=z+v, ZV = ZV, Re(z) = z +Z 2 e Im(z) = Z - Z 2i .

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Proprietà di Somma e Prodotto

Proprietà della Somma

Per la somma di numeri complessi valgono le seguenti proprietà:

• proprietà commutativa: z + v = v + z, Vz, v E C;
• proprietà associativa: (z+ v) +w = z + (v + w), Vz, v, w € C;
• esistenza dell'elemento neutro della somma, 0 = 0 + /0: z + 0 = 0 + z = z, Vz E C;
• esistenza dell'opposto: Vz = a + ib E C, posto -z = - a - ib si ha z+(-z) =- z+z=0.

Proprietà del Prodotto

Per il prodotto di numeri complessi valgono le seguenti proprietà:

• proprietà commutativa: zv = vz, Vz, v E C;
• proprietà associativa: (zv)w = z(vw), Vz, v, w E C;
• esistenza dell'elemento neutro del prodotto, 1 = 1 + /0: z · 1 = 1 · z = z, Vz E C;
• ogni elemento non nullo è invertibile: posto z = a + ib E C, z = 0, da Z . Z = Z· z= a2 + b2 segue facilmente l'inverso di z è: Z -1 = z a2 + b2 = a - ib a2 + b2 = a2 + b2 a · i a2 + b2* b 3/12

Si vede facilmente che per ogni z E C, z = 0 si ha: z-1 = z-1 .

Osserviamo, infine, che: z . (v + w) = zv + zw, Vz, v, w E C.

Questo vuol dire che l'insieme dei numeri complessi C con queste operazioni di somma e prodotto è un campo.

E importante osservare che non è possibile introdurre un ordinamento su C, cioè non ha senso scrivere disuguaglianze tra numeri complessi. I numeri reali vengono rappresentati su una retta. I numeri complessi possono essere rappresentati in un piano. Si parla di piano complesso o piano di Gauss (o anche di Argand-Gauss).

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Rappresentazione nel Piano Complesso

Nel piano complesso i numeri reali vengono rappresentati sull'asse delle ascisse, mentre sull'asse delle ordinate vengono rappresentati i numeri immaginari puri.

Im (a, b) <> z = a + ib b 1 1 Re O a Piano complesso

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Somma di Vettori nel Piano

Se ad un numero complesso z = a + ib associamo il vettore del piano di componenti (a, b), allora la somma di numeri complessi corrisponde alla somma di vettori.

Im z + W - 1 1 1 1 1 z 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 w Re O

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Modulo di un Numero Complesso

1Il modulo di un numero complesso z = a + ib è il numero reale |z| = Va2 + b2. Se z è un numero reale, allora il modulo di z coincide con il suo valore assoluto. Per ogni z, w E C, valgono le seguenti proprietà:

• z > 0,
• Z = 0 se e solo se z = 0,
• Z =Vzz,
• ,-1 Z |z|2'
• z z + w |z| + |w| (proprietà triangolare),
• zw = z|w .

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Forma Trigonometrica di un Numero Complesso

Dato un numero complesso z = a + ib, sappiamo che possiamo identificarlo con il punto di coordinate P = (a, b) del piano complesso. Possiamo, dunque, associare a questo punto le sue coordinate polari (p, 0), dove p = va2 + b2 = |z| e 0 € [0,27[, detto argomento di z, è l'angolo che il segmento OP forma con l'asse delle ascisse. Scriviamo ( = arg(z).

Im b P = (a, b) I ρ Re θ a O

Quindi: a = pcos 0 e b = psine.

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Definizione della Forma Trigonometrica

Questo vuol dire che: z = pcos0 + ipsin 0 => z = p(cos 0 + i sin 0), dove dunque: p = z = Va2 + b2 e 0 = arg(z) è l'unico angolo in [0, 27[ tale che: sin 0 = b Z = b Va2 + b2 = a cos ( = a Z Va2 + b2 .

La scrittura z = p(cos 0 + isin 0) è detta forma trigonometrica del numero complesso z.

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Prodotto e Potenza in Forma Trigonometrica

Non è difficile osservare che, dati due numeri complessi z, z': z = p(cos 0 + isin 0) e z' = p'(cos 0' + i sin 0'), con p = |z|, p' = |z'|, 0 = arg(z) e 0' = arg(z'), si ha: z = pp'[cos(0 + 0') + i sin(0 + 0')].

Inoltre, per ogni n € N si ha: z" = p"[cos(no) + i sin(no)] (Formula di de Moivre).

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Radici n-esime di un Numero Complesso

Proposizione sulle Soluzioni

Proposizione Siano z E C, z # 0, p = |z|, 0 = arg(z), e n E N, n > 1. Allora l'equazione x" = z ha n soluzioni distinte date da: Xk = Vp cos 0+2km n ) + i sin 0+2km n )] , con k = 0,1, ... , n - 1.

Teorema Fondamentale dell'Algebra

In generale si dimostra: Teorema (teorema fondamentale dell'algebra) Ogni polinomio complesso di grado maggiore o uguale a 1 ha almeno una radice complessa.

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Formula di Eulero

Per ogni 0 € R si ha: e10 = cos 0 + i sin 0.

Dal momento che ogni numero complesso può essere scritto nella forma z = p(cos 0 + i sin 0), possiamo anche dire che: z = pe1.

Prendendo 0 = T abbiamo l'alertidentità di Eulero: e iT +1 = 0.

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