Economia del Benessere e dello Stato Sociale, Sapienza Università

Economia del Benessere e dello Stato Sociale

Laurea in Economia Aziendale
Facoltà di Economia - Sapienza Università di Roma
Lezione 6-7
Prof. PAOLO DI CARO
Dipartimento di Economia e Diritto
E-mail: paolo.dicaro@uniroma1.it
a.a. 2023/2024

Aggregazione delle Preferenze

Obiettivo della lezione: analizzare la distribuzione del benessere tra le persone tramite una funzione che fornisca un modo per "aggregare" le diverse utilità dei consumatori. Più in generale, una funzione di benessere fornisce un modo per classificare diverse distribuzioni di utilità tra i consumatori.
Assumiamo che le preferenze dei consumatori siano transitive ed espresse sull'intera ripartizione dei beni tra i consumatori (ipotizzando che al consumatore non importi ciò che fanno gli altri).
Denotiamo con x una particolare allocazione, una descrizione di ciò che ogni individuo ottiene da ogni bene. Quindi date due allocazioni, x e y, ogni individuo può dire se preferisce o meno x a y.
Date le preferenze di tutti gli agenti, vogliamo un modo per "aggregare" le preferenze in un'unica preferenza sociale. Cioè, se sappiamo come tutti gli individui classificano le varie allocazioni, vorremmo poter utilizzare queste informazioni per sviluppare una classifica sociale delle varie allocazioni. Questo è il problema del processo decisionale sociale al suo livello più generale.

Votazione per Aggregare Preferenze

Un modo per aggregare le preferenze individuali è utilizzare una votazione.
Possiamo dire che x è "socialmente preferito" a y se la maggioranza degli individui preferisce x a y.
Tuttavia, c'è un problema con questo metodo: potrebbe generare un ordinamento sociale delle preferenze non transitivo.

Person A
Person B
Person C
x
y
y
7
x
Z
x
y

Poiché le preferenze non sono transitive, non ci sarà alcuna alternativa "migliore" nell'insieme delle alternative (x, y, z). Il risultato scelto dalla società dipenderà dall'ordine in cui si vota.

Votazione Classificata

Nel caso di votazione classificata, ogni individuo classifica le merci in base alle sue preferenze e assegna un numero che ne indica la classifica nel suo ordinamento: 1 per la migliore alternativa, 2 per la seconda migliore ecc.
Quindi sommiamo i punteggi di ciascuna alternativa per determinare un punteggio aggregato: un risultato è socialmente preferito a un altro se ha un punteggio più basso.

Person A
Person B
X
y
y
Z
Z
x

Il voto classificato può essere manipolato introducendo nuove alternative che cambiano le classifiche finali delle alternative rilevanti.

Teorema dell'Impossibilità di Arrow

Date le seguenti proprietà:

1. Dato un insieme qualsiasi di preferenze individuali complete, riflessive e transitive, il meccanismo di decisione sociale dovrebbe risultare in preferenze sociali che soddisfano le stesse proprietà.
2. Se tutti preferiscono l'alternativa x all'alternativa y, allora le preferenze sociali dovrebbero classificare x davanti a y.
3. Le preferenze tra x e y dovrebbero dipendere solo da come le persone classificano x rispetto a y e non da come classificano altre alternative.

Se un meccanismo di decisione sociale le soddisfa, allora deve essere una dittatura: tutte le classifiche sociali sono le classifiche di un individuo.

Funzioni del Benessere Sociale

Se abbandoniamo la proprietà 3, ovvero che la preferenza sociale tra due alternative dipende solo dal rango di queste due alternative, alcuni tipi di votazione classificata diventano possibili.
Date le preferenze dell'individuo i-esimo circa le allocazioni, possiamo costruire una funzione di utilità ui (x): un individuo preferisce x a y se ui (x) > ui(y)
Per ottenere le preferenze sociali dalle preferenze degli individui, posso sommare le utilità individuali e dire che l'allocazione x è socialmente preferita all'allocazione y se Li=1 ui (x) >>i=1 ui(y)
La rappresentazione rischia di essere del tutto arbitraria: ragionevole restrizione che potremmo porre alla "funzione di aggregazione" è che sia crescente nell'utilità di ogni individuo.

Esempi di Funzione di Benessere Sociale

• Funzione utilitarista classica o benthamiana
  W (U1, ... , Un) =>
  ui
  i=1
  n
• Somma ponderata delle utilità individuali, ai > 0
  n
  W (u1, ... , Un) = >
  i=1
  aqui
• Minimax o funzione rawlsiana
  W (u1, ... , Un) = min{u1, ... , un}

Massimizzazione del Benessere

Data x; la quantità dell'individuo i-esimo del bene i-esimo, e supponiamo ci siano n consumatori e k beni.
L'allocazione X considera quanto ciascuno degli agenti ha di ciascuna delle merci.
Data la quantità totale X1, ... , Xk di beni 1, ... ,k da distribuire tra i consumatori, il problema della massimizzazione del benessere risulta
max W (U1 (x), ... , un (x))
s.t. El-1 x1 = X1 ... Eu-1 x2 = Xk
ovvero trovare l'allocazione realizzabile che massimizza il benessere sociale.

Insieme (Frontiera) delle Utilità Possibili

Isowelfare
curves
Welfare maximum
Utility
possibilities
SEL
Descrive l'insieme delle allocazioni PE: indica il livello max di utilita che può essere ottenuto dai due consumatori => sulla curva non è possibile aumentare l'utilità, derivante dal consumo, del primo, senza ridurre quella del secondo.
I punti situati all'interno della frontiera non rispettano una o più condizioni di efficienza, quelli al di fuori esprimono invece livelli di benessere non raggiungibili.
Le "curve di indifferenza" sono qui chiamate curve di isobenessere poiché descrivono quelle distribuzioni di utilità con benessere costante. Il punto ottimo è caratterizzato da una condizione di tangenza.

Funzione Individuale di Benessere Sociale

Data ui (xi), l'utilità che l'individuo i-esimo trae dal paniere di consumo Xi, la funzione di benessere individuale o di Bergson-Samuelson è definita come
W = W (u1(x1), ... , un (xn)),
ovvero una funzione diretta dei livelli di utilità degli individui, ma indiretta del consumo dei singoli agenti.
Se l'utilità di ciascun agente dipende solo dal proprio consumo, allora non ci sono esternalità di consumo => tutti gli equilibri concorrenziali sono PE e, sotto ipotesi di convessità, tutte le allocazioni PE sono equilibri concorrenziali.
Data la relazione tra efficienza paretiana e massimo benessere, possiamo concludere che tutti i punti di massimo benessere sono equilibri concorrenziali e che tutti gli equilibri concorrenziali sono punti di massimo benessere per alcune funzioni di benessere.

Allocazioni Giuste

Supponiamo di aver ricevuto dei beni da dividere equamente tra n persone ugualmente meritevoli. La maggior parte delle persone dividerebbe equamente i beni tra gli n agenti, dato che sono per ipotesi ugualmente meritevoli.
Una divisione egualitaria è simmetrica =>Ogni agente ha lo stesso paniere di merci; nessun agente preferisce il paniere di merci di un altro agente al proprio.
Sfortunatamente, una divisione egualitaria non sarà necessariamente PE. Se gli agenti hanno gusti diversi, desidereranno scambiare. Supponiamo lo scambio si verifichi e ci porti a un'allocazione PE: sarà ancora un'allocazione equa? Lo scambio da divisione egualitaria eredita la simmetria del punto di partenza?
Non necessariamente: date tre persone, A, B e C. A e B hanno gli stessi gusti e C ha gusti diversi. Partiamo da una divisione egualitaria e supponiamo che A e C fanno uno scambio e migliorano la soddisfazione. Ora B, che non ha avuto l'opportunità di commerciare con C, invidierà A, cioè preferirebbe il paniere di A al suo. Anche se A e B hanno iniziato con la stessa allocazione, A è stata più fortunata nello scambio, e questo ha distrutto la simmetria dell'allocazione originale.
Lo scambio da una divisione egualitaria non ne mantiene necessariamente la simmetria. C'è un modo per ottenere un'allocazione che sia PE ed equa allo stesso tempo?

Invidia ed Equità

Un'allocazione è equa se nessun agente preferisce il paniere di beni di un altro agente al proprio.
Se qualche agente i-esimo preferisce il paniere dell'agente i-esimo, diciamo che i invidia j. Infine, se un'allocazione è sia equa che PE, diremo che è un'allocazione giusta.

Un'allocazione da divisione egualitaria ha la proprietà che nessun agente invidia nessun altro agente, ma ci sono molte altre allocazioni che hanno questa stessa proprietà.

COOD
1
Person
B
Indifference
curves
Fair allocation
W3/2
V3/2
Swapped
allocation
Person
A
GOOD
Se l'allocazione che risulta quando due agenti si scambiano i panieri si trova "al di sotto" della curva di indifferenza di ciascun agente che passa attraverso l'allocazione iniziale, allora l'allocazione iniziale è un'allocazione equa.
L'allocazione è anche PE .
Secondo la nostra definizione, è quindi un'allocazione giusta.

Supponiamo di partire da un'allocazione da divisione egualitaria e di scambiare con un'allocazione PE.
Usiamo il meccanismo del mercato concorrenziale. Questo ci porterà a una nuova allocazione in cui ogni agente sceglie il miglior paniere di beni che può permettersi ai prezzi di equilibrio (p1,P2) e sappiamo che tale allocazione deve essere PE.
Ma è ancora equa? Supponiamo di no. Supponiamo che uno dei consumatori A invidi il consumatore B. Ciò significa che A preferisce il paniere di B al proprio:
(x1, x2) <A (xB, XB)
Ma se A preferisce il paniere di B al suo, e se il suo paniere è il migliore che può permettersi ai prezzi (P1, P2), allora il paniere di B deve costare più di quanto A può permettersi:
PiwA + p2002 < p1xB + P2XB
Ma questa è una contraddizione! = > per ipotesi, A e B iniziano esattamente con lo stesso paniere, poiché partivano da una divisione egualitaria. Se A non può permettersi il paniere di B, neppure B può comprarlo. E' impossibile per A invidiare B.
Un equilibrio concorrenziale da divisione egualitaria deve essere un'allocazione giusta.