Il mondo della fisica: correlazione lineare e quadratica

Premessa: perché studiare la Fisica?

Benvenuta, benvenuto. É mia opinione che sarebbe più opportuno riflettere sui motivi che ci devono convincere a studiare qualsiasi materia e mi piace ricordare, al proposito, il pensiero di un uomo di grande cultura e genialità dell'età moderna: Albert Einstein. Sai di chi parlo? Vissuto a cavallo fra l'800 e il '900, è considerato il più importante fisico del XX secolo e tutti coloro che hanno avuto a che fare con la Scienza lo conoscono per una "formula" definita come "l'equazione più famosa al mondo": quella che riconosce l'equivalenza tra la massa e l'energia. Bando alle cose difficili, senti un po' che disse Albert ad un gruppo di suoi studenti: " ... tenete bene a mente che le cose che imparate nella scuola sono opere di molte generazioni: sono state create in tutti i Paesi della Terra a prezzo di sforzi infiniti e dopo appassionato lavoro. Questa eredità è lasciata ora nelle vostre mani, perchè possiate onorarla, arricchirla e un giorno trasmetterla i vostri figli. È così che noi, esseri mortali, diventiamo immortali mediante il contributo al lavoro della collettività ” … .

Il metodo di studio, che tormento ...

Esiste un metodo efficace di studio per lo studente del primo biennio della nostra scuola? Non voglio far perdere tempo a Te, "nativo digitale" ma mi vien da dire: apri un qualsiasi software di navigazione sul web (Google Chrome, Safari o altro ... ) ed inizia la ricerca: troverai un numero infinito di link che ti suggeriscono magiche strategie per diventare uno studente "vincente" ... In realtà non esiste un sistema infallibile, adatto a tutti noi. Ci sono, però, alcuni atteggiamenti che ritengo convenienti:Il mondo della FISICA

1. Stai attento durante le lezioni (hai voglia a dirlo , come se fosse facile: pian piano imparerai, molto spesso a tue spese ... ).
2. Partecipa al lavoro della classe: non rimanere col dubbio, fai domande, sollecita l'intervento del tuo insegnante senza alcun timore, sforzati di vincere a poco a poco le tue timidezze ( ...).
3. Ascolta i tuoi compagni, spesso esprimono le tue stesse indecisioni oppure certezze uguali alle tue (" ... ).
4. Non commettere l'errore (talvolta tragico ... ) di trascurare il lavoro a casa per lunghi periodi: inizia subito nei primi giorni, partirai con le questioni più semplici e così la tua attività sarà una specie di allenamento ( ...).
5. Ricorda che studi NON per memorizzare ma per spiegare le cognizioni a te stesso e agli altri. Pertanto é fondamentale simulare la spiegazione come se tu fossi l'insegnante, esponendo a voce alta ciò che ritieni di aver appreso; in modo semplice, cioè "smontando" i concetti ( ...

Di cosa si occupa la Fisica?

Possiamo dire quanto segue, se non altro per ciò che riguarda lo studio della Fisica nel biennio iniziale della nostra scuola. La disciplina ha l'obiettivo principale di educare lo studente all'esplorazione dei fenomeni naturali, apprendendo alcune elementari procedure di indagine fondate principalmente sull'esperienza che si acquisisce mediante l'attività in laboratorio. La meta è senz'altro la costruzione di un "modello" di interpretazione del fenomeno, ciò che il libri chiamano "legge". Sai di che si tratta? Semplice: una rappresentazione matematica (grafici, formule, eccetera ... ) della relazione tra le grandezze caratteristiche del fenomeno studiato. In altre e più semplici parole, accade spesso che i valori assunti da una grandezza fisica dipendano da quelli che ne assume un altra. In tal caso si afferma che c'è una relazione tra le due grandezze Consideriamo insieme alcuni esempi che incontrerai nei prossimi due anni.Il mondo della FISICA

La relazione EMPIRICA

Supponiamo di avere registrato, ora per ora (h) e nel corso di una giornata, la temperatura dell'aria in una data località e di avere ottenuto i risultati indicati nella tabella a fianco. T (ºC) tempo (h) 6 0 5,5 2 4,5 4 4 6 5 8 6,5 10 11 12 13,5 14 12,5 16 11,5 18 9,5 20 8 22 6,5 24 Come si può osservare, i valori della temperatura dipendono dall'istante in cui essa è misurata: dunque esiste una relazione tra la temperatura ed il tempo. Delle due grandezze fisiche misurate, quella i cui valori sono espressi in funzione dall'altra è detta variabile (=che cambia) dipendente, la restante si chiama invece variabile indipendente. Nell'esempio in questione, la temperatura è la variabile dipendente, il tempo quella indipendente (il tuo insegnante ti "allenerà" a riconoscere le une dalle altre). Per lo studio della relazione fra le due grandezze misurate abbiamo a disposizione molti strumenti, di cui due essenziali: la tabella e, soprattutto, il grafico cartesiano XY. Quest'ultimo é sicuramente quello più facile da usare. Ricordiamo che nella rappresentazione grafica cartesiana i valori della variabile indipendente si riportano sempre sull'asse delle X (o ascisse, nel caso in esame il tempo), quelli della variabile dipendente sull'asse delle Y (o ordinate, in questo caso la temperatura). L'immagine seguente mostra la rappresentazione grafica delle misure effettuate: 16,0 14,0 12,0 10,0 - Temperatura (C) 8,0 - 6,0 4,0 2,0 0,0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 Tempo (h)Il mondo della FISICA Se provassimo ad unire i punti del grafico, non otterremmo alcuna linea geometrica di forma definita e riconoscibile. Inoltre, in casi come questo, non esiste alcuna formula matematica che permetta di calcolare i valori della variabile temperatura, conoscendo quelli del tempo (e viceversa). Infatti, come dimostrato dai calcoli successivamente riportati, non risulta costante né il prodotto, né il rapporto delle due grandezze e (infine) neppure il rapporto tra i valori della temperatura ed il quadrato del tempo: T . At (ºC.h) T/At (ºC/h) T/At2 (ºC/h2) 0 11 2,75 1,375 18 1,13 0,281 24 0,67 0,111 40 0,63 0,078 65 0,65 0,065 132 0,92 0,076 189 0,96 0,069 200 0,78 0,049 207 0,64 0,035 190 0,48 0,024 176 0,36 0,017 156 0,27 0,011 Si parla allora di relazione empirica fra le grandezze.Il mondo della FISICA

Relazione di PROPORZIONALITÀ DIRETTA

Molto spesso, invece, si hanno situazioni nelle quali c'é una "formula" matematica che esprime il legame tra le grandezze: si dice allora che tra esse esiste una relazione analitica. La relazione analitica più semplice (e più diffusa didatticamente) è quella di proporzionalità diretta: come si riconosce?

Aspetto grafico della proporzionalità diretta

Ogni volta che due grandezze sono direttamente proporzionali, il diagramma cartesiano XY mostra un insieme di punti esattamente allineati fra loro e con l'origine: "collegandoli" si ottiene una linea a pendenza costante, comunemente chiamata retta passante per l'origine (vedi disegno di seguito riportato). Come tracciare adeguatamente questa retta? La si può disegnare "a mano", facendo in modo che passi "il più possibile vicino" a tutti i punti sperimentali: la tracciatura é aiutata dal fatto che é possibile dimostrare come la retta passi per il punto "medio" M = (x ;y ), vale a dire il punto che ha per ascissa la media delle ascisse e per ordinata la media delle ordinate. La si forza, infine, a passare anche per l'origine O = (0;0) del sistema di assi cartesiani. v Oppure si utilizzano i software di produttività chiamati "fogli elettronici". Considerate che da tempo, più o meno una quindicina di anni, i docenti di Scienze Integrate sono tenuti ad istruire i propri allievi all'uso del "foglio di calcolo". Y Y= k · X M=(Xm;Ym) O=(0;0) XIl mondo della FISICA

Aspetto algebrico della proporzionalità diretta

Si usa dire che due grandezze sono direttamente proporzionali quando: raddoppiando il valore della X anche la Y raddoppia, triplicando il valore della X anche la Y triplica, dimezzando il valore della X lo stesso vale per la Y e così via. È questo il modo corretto e più semplice di pensare alla proporzionalità diretta. È facilmente dimostrabile che se ciò accade, il rapporto fra i valori delle due grandezze è costante. Quindi se indichiamo in astratto con X il valore della variabile indipendente e con Y quello della variabile dipendente, la relazione di proporzionalità diretta é verificata quando: Y X = costante= k La costante k prende, ovviamente, il nome di costante di proporzionalità diretta. La formula algebrica della proporzionalità diretta, intesa come espressione polinomiale ordinata di 1º grado, é pertanto: Y = k · X (vedi diagramma alla pagina precedente)

Mappa Riassuntiva della proporzionalità diretta

PROPORZIONALITA' DIRETTA tra due variabili Y e X si riconosce quando ... usando il foglio elettronico ... a conferma di ciò ... ... in linguaggio "naturale" ... significato GRAFICO significato ALGEBRICO la tabella delle misure mostra che: si ottengono dei punti allineati, cioé: ... il rapporto tra Y e X é costante raddoppiando X raddoppia Y, triplicando X triplica Y, dimezzando X dimezza Y ... ... e così via La linea che li unisce é una RETTA che passa per O, origine del piano cartesiano La sua formula é: Y = K . XIl mondo della FISICA

Relazione di CORRELAZIONE (o DIPENDENZA) LINEARE

La relazione di proporzionalità diretta rappresenta un caso particolare della correlazione lineare tra le grandezze. Anche questa relazione matematica (come tutte, d'altra parte) é riconoscibile sia per via grafica sia per via algebrica.

Aspetto grafico della correlazione lineare

Per accertare la correlazione lineare tra due grandezze variabili basta disegnare nel piano cartesiano i punti di coordinate (X;Y) corrispondenti alle misure sperimentali e valutarne il loro allineamento. Consideriamo, ad esempio, il grafico sottostante come risultato dei dati raccolti effettivamente durante la verifica sperimentale dell'ipotetica proporzionalità diretta tra due generiche grandezze X e Y: Y O X Come si vede i punti sono "quasi" allineati, vale a dire "descrivono" un percorso "quasi rettilineo"; per meglio dire non sono esattamente allineati ne tra loro né con l'origine del piano cartesiano. Non è pertanto possibile tracciare, senza alcuna incertezza, una linea retta che li unisca esattamente e ciò è dovuto agli errori sperimentali commessi. Si conclude affermando che le grandezze sono legate da una correlazione (o relazione) lineare. Quindi, come si collegano i punti sperimentali? v Ancora una volta si può disegnare "a mano" una retta che passa "il più possibile vicino" a tutti i punti sperimentali: la tracciatura e aiutata dal fatto che e possibile dimostrare come la retta passi per il punto "medio" M = (x ;y ), vale a dire il punto che ha per ascissa la media delle ascisse e per ordinata la media delle ordinate. In questo modo, però, ogni allievo traccia una retta diversa! " Esiste un metodo oggettivo per disegnare la retta di regressione, cioè che da lo stesso risultato a tutti gli alunni? La risposta é sì, basta lasciar fare il foglio elettronico: utilizzerà il