Lezione 20: Moto armonico semplice, smorzato e statica dei fluidi

Lezione 20

• Cinematica del moto armonico semplice

Dinamica del moto armonico semplice:

• Blocco-molla orizzontale e verticale
• Energia nel moto armonico
• Pendolo semplice
• Pendolo fisico

Moto circolare uniforme come moto armonico ... - Cap. 14 Gettys

Lezione 19

. ... Moto circolare uniforme come moto armonico

• Moto armonico smorzato
• Oscillazioni forzate e risonanza

STATICA DEI FLUIDI

• Definizioni fluido e pressione

Cap. 14 Gettys Cap. 15 Gettys STUDIORU UNIVERSI UM . ALMA · A · PARMENSIS A.D. 962 P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica

Satelliti di Giove e loro moto: che legame con moto armonico semplice?

STUDIORU UNIVERSI UM ALMA . A · PARMENSIS A.D. 962 1610 Galileo Galilei scopre i 4 satelliti maggiori di Giove (satelliti Medicei o Galileiani) > lo, Europa, Ganimede e Callisto Callisto Europa Io Ganimede Ganimede Callisto Europa 12 Angolo(minuti di grado) T = 16.8 giorni 0 0 10 20 30 -12 t (giorni) Elaborazione da dati originali di Galileo della posizione di Callisto rispetto a Giove "Fondamenti di Fisica" - Halliday - Resnick, Casa editrice Ambrosiana P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 2 Durante le osservazioni ogni luna sembrava muoversi avanti e indietro rispetto alla posizione del pianeta secondo un moto sinusoidale (che ora identifichiamo come moto armonico semplice)> perchè? Callisto si muove su una traiettoria = circolare ad una velocità di modulo = costante >Quello che vediamo con un telescopio è la proiezione = 1d del moto circolare uniforme di Callisto attorno a Giove Il moto della proiezione di una massa che si muove di moto circolare uniforme è di tipo armonico semplice

Moto circolare uniforme come moto armonico

STUDIORU UNIVERSI UM . ALMA · A · PARMENSIS A.D. 962 Punto materiale Q che si muove con velocità di modulo costante v lungo una circonferenza di raggio A e origine O (L14) Vt = cost velocità angolare wz = cost Dato che wz = Vt/A (A = r) Essendo de /dt = wz = cost 0(t) = + + @zt Proiezione P sull'asse x del punto Q in moto a velocità costante su orbita circolare -- > x = A cos 0 (A raggio) Ne consegue che: x = A cos(wzt + +) y Q A X P - X- Coincide con equazione del moto armonico Se punto Q si muove su circonferenza a velocità angolare costante @z, allora la sua proiezione P sull'asse x compie un moto armonico di pulsazione @ che è uguale al modulo della velocità angolare con il quale ruota il punto Q Es. Wz = 1 s 2T rad (Q fa un giro intero in un secondo) > anche la sua proiezione P farà un ciclo completo (un periodo - andata e ritorno) in un secondo > pulsazione del moto armonico di P w = 2Tt rad 1 S P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 3 valore iniziale di 0 > dipende da posizione angolare iniziale (t=0)

Moto circolare uniforme come moto armonico

STUDIORU UNIVER UM . ALMA . A · PARMENSIS A.D. 962 Valutiamo la velocità di spostamento della proiezione P del punto Q sull'asse x U è puramente tangenziale rispetto alla traiettoria circolare percorsa. Il suo angolo rispetto all'asse positivo x è (0 + Tt /2) Vx = v cos(0 +1/2) = - v sen 0 Ed essendo v = WA e 0 = wt + + (*) Omettiamo pedice z nel modulo della velocità angolare in quanto in questo caso particolare coincide con la pulsazione Vx =- WA sen(wt ++) Ux P Ombra di Q Schermo Identica alla velocità nel un moto armonico > massima in modulo quando passa per x = 0 e nulla agli estremi (v ortogonale ad asse x) P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 4

Moto circolare uniforme come moto armonico

STUDIORU UNIVERSI UM . ALMA · A · PARMENSIS A.D. 962 y Valutiamo ora l'accelerazione di P proiezione di Q sull'asse x Moto circolare uniforme, accelerazione è puramente centripeta (no componente tangenziale) 100 Q O X P ax 02 a = -= @2 A (A raggio del moto circolare) Vettore a ha direzione opposta al vettore posizione r che va da O a Q e forma angolo con asse positivo x pari a (0 + Tt) ax = a cos(0 +1) = - a cose Ed essendo a = w2A e 0 = wt + + ax = - w2A cos(wt ++) Accelerazione nel moto armonico! > Nulla a x = 0 e massima (in modulo) agli estremi (x = A) P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 5

Moto circolare uniforme come moto armonico

Con procedimento analogo possiamo descrivere il moto della proiezione R del punto Q sull'asse y y = A sen(wt + +) x = A cos(wt + +) Entrambi sono moti armonici con medesima ampiezza e pulsazione, ma con differenza di fase di Tt / 2 y R Q A y 0 i X O P -X- Un moto circolare uniforme può essere espresso come composizione di due moti armonici lungo assi perpendicolari e caratterizzati da: · stessa ampiezza A (pari al raggio della circonferenza) · stessa pulsazione @ (uguale alla velocità angolare) · sfasati di Tt /2 fra loro https://www.youtube.com/watch?v=oJx30AR7abs > 3:00 ---- 19:35 P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 6 A . PARMENSIS ALMA · A.D. 962 STUDIORU UNIVERSI UM .

Moto armonico smorzato

UNIVERSI UM . ALMA · A.D. 962 Un sistema molla-massa verticale oscilla intorno alla posizione di equilibrio y = 0. Con moto armonico y = A cos(wt + +) e pulsazione w = \k/m Cosa succede se il movimento della massa non è libero (agiscono altre forze sul sistema in moto armonico)? In particolare forze che agiscono in verso opposto a quello della velocità ? Studiamo l'effetto di una forza dissipativa sul moto armonico Forza di attrito viscoso Compie lavoro W negativo e riduce l'energia meccanica dell'oscillatore Fy = - bů con b costante (dipendente da forma oggetto e viscosità fluido) Compression Extension Top mount Piston rod Seal Gas compresses Gas expands Outer tube Gas Piston Oil Resevoir Bottom valve Oil flows through piston valves, damping the spring Oil flows freely through piston Bottom mount Oil flows freely through bottom valve into resevoir. Oil flows back through bottom valve into inner tube, damping the rebound. P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 7 A · PARMENSIS STUDIORU

Oscillatore armonico smorzato da attrito viscoso di un fluido

STUDIORU UNIVERSI UM . A · PARMENSIS ALMA · A.D. 962 . Fy = - ky - bvy = may k b ay = -= y -Vy Esplicitando le grandezze fisiche in funzione della posizione y (tramite derivate): d2y dt2 dt2 + b dy m dt + + =y = 0 k m Possibile soluzione di questa equazione differenziale (senza entrare nei dettagli della risoluzione) è: y = e-Yt A cos(wst ++) Y = b/2m ως = m k -(b/2m)2 Pulsazione diversa da quella dell'oscillatore libero (w = \k/m ) > ridotta da attrito viscoso (se b=0 si riduce a moto armonico semplice) Soluzione valida per smorzamenti piccoli -- > (b/2m)2 < k/m y = 0 Paletta Liquido P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 8

Oscillatore armonico smorzato da attrito viscoso di un fluido

STUDIORU ERS UM . UN ALMA A · PARMENSIS A.D. 962 Per smorzamenti piccoli (b/2m)2 <k/m moto sottosmorzato (argomento radice rimane positivo) (b/2m)2 e Y = b/2m y = e-Yt A cos(@st + +) con Ws = Jm m y Parto con certa ampiezza iniziale A > oscilla di moto armonico con pulsazione @s ridotta rispetto a quella del moto armonico massa- molla non smorzato Nel tempo ampiezza iniziale A viene modulata e ridotta dal fattore esponenziale e-Yt fino ad annullarsi > maggiore b e maggiore effetto di smorzamento di A nello stesso t moto criticamente smorzato (ws = 0) Si verifica quando (b/2m)2 = k -> se ne va contributo sinusoidale e m abbiamo solo uno smorzamento dell'ampiezza iniziale Criticamente smorzato è il più efficiente per portare più velocemente A a 0 > è quello che vogliamo in un ammortizzatore (assorbire urto, non voglio che continui ad oscillare) A t 2 T/ Ws P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 9

Oscillazioni forzate

STUDIORU UNIVER UM . ALMA . A · PARMENSIS A.D. 962 Se iniziamo ad oscillare con un'altalena dandoci solo la spinta iniziale, dopo un certo numero di oscillazioni l'altalena si arresta nella sua posizione di equilibrio. In natura esistono sempre attriti, per mantenere in vita un'oscillazione è spesso necessario applicare una forza esterna. Quando per mantenere l'oscillazione applichiamo una forza esterna di eccitazione F che continua a fornire E parliamo di oscillazioni forzate Tornando all'esempio dell'altalena, come dovrebbe essere la forza applicata per mantenere un moto oscillatorio invariato nel tempo? P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 10

Oscillazioni forzate

STUDIORU ERS UM- UNI ALMA A . PARMENSIS A.D. 962 Consideriamo ad esempio il caso di una forza esterna che varia nel tempo con una pulsazione (o frequenza) definita FE -- > intensità che varia con andamento sinusoidale con una pulsazione propria. FEX = Fo cos(@Ft) Applicata a oscillatore blocco-molla orizzontale smorzato (attrito viscoso) Stantuffo pneumatico O X- Y Fx = FEx + Fely + Fv = max 2° legge Newton FOCOS(wEt) - kx - bvx = max Questo sistema oscillerebbe di moto armonico semplice con una pulsazione (intrinsecamente definita da K e m scelti) pari a w = H ma per effetto dell'attrito viscoso diminuirebbe leggermente la sua pulsazione @s = ~- (b/2m)2, mentre la sua ampiezza tenderebbe a smorzarsi (moto sottosmorzato) P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 11 Fo intensità massima forza WE pulsazione propria della forza

Oscillazioni forzate

STUDIORU UNIVERSI UM . ALMA · A · PARMENSIS A.D. 962 Stantuffo pneumatico O +X- FOCOS(wEt) - kx - bvx = max La esprimiamo come equazione differenziale funzione della posizione d2x dt2 + m dt b dx K m +-x =- COS(@Et) m Fo La soluzione qualitativa di questa equazione differenziale è formata da: x = (soluzione transitoria) + (soluzione stazionaria) oscillazione valida per moto smorzato (piccolo smorzamento): y = e-VA cos(@st ++) -- > dopo certo t si estingue Soluzione valida per contributo forza eccitatrice esterna > persiste nel tempo anche quando soluzione transitoria si è estinta P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 12

Oscillazioni forzate e risonanza

UNIVERSI UM . ALMA · A.D. 962 x = (soluzione transitoria) + (soluzione stazionaria) t >>0 A tempi sufficientemente lunghi il sistema oscillerà con la pulsazione imposta dalla forza esterna x = A COS(WEt + PE) A0 = V(@2-@2)2+4y2w2 Il moto è armonico ma ha ampiezza Ao, proporzionale all'ampiezza della forza sinusoidale di eccitazione Fo e dipendente da (WE - @2): massima quando la pulsazione della forza esterna uguaglia circa quella originale dell'oscillatore (in questo caso w = w = Jm , ma effetti smorzamento possono variare leggermente la frequenza originale -- > più alto è b e più @ diminuisce) RISONANZA La forza esterna di eccitazione ha una pulsazione (o frequenza) ~ alla frequenza propria dell'oscillatore ed è circa in fase con la velocità del corpo oscillante (compie W positivo > stesso verso forza e spostamento) A0 Fo bw w "originale" del moto armonico w WE https://www.youtube.com/watch?v=QwgDxQ901XQ&t=1560s > 9:15 P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 13 A · PARMENSIS STUDIORU Fo/m