Consideraciones sobre rea y Perímetro con Tangram en Matemáticas

Consideraciones sobre Área y Perímetro

Recursos para la enseñanza del área

Recursos para su enseñanza: Tangram y tramas como "escusa" para analizar el áreaManifestaciones del área

Área como cantidad de Plano ocupado por la superficie

1. Área como cantidad de Plano ocupado por la superficie

Proponer tareas de comparación de áreas de superficies, a través de procedimientos geométricos. La superficie es una cualidad que puede compararse y sumarse El NÚMERO ESTA AUSENTE DE CUALQUIER RAZONAMIENTO

Procedimientos de carácter geométrico para comparar o medir áreas

El objetivo no es cuantificar el área sino comparar áreas de superficies para establecer entre ellas relaciones de igualdad o inclusión, pudiendo en determinadas situaciones concretar el tipo de relación. El área de A es el triple de la de B

Actuaciones didácticas del maestro de primaria

¿Como futuro maestro de primaria, cuáles deberían ser tus actuaciones didácticas respecto a la respuesta de los niños? Plantea acciones concretas que ayuden a los niños a comprender y evaluar su propia respuesta.

Preguntas sobre la actividad del trapecio

¿Cuánto mide el área del trapecio?

• ¿Para quien va dirigida la actividad?
• ¿ Cuál es el objetivo de la actividad? ¿ Se ajusta a lo propuesto en el currículo?
• ¿ Qué contenidos requiere el alumnado para dar respuesta a la actividad? ¿ Qué idea de área se propone en la actividad?
• ¿ Qué estoy evaluando?
• ¿ Qué dificultades de aprendizaje puede tener/ o tiene el alumnado al respecto? ¿ Que dice la bibliografía?
• ¿ Cómo modificaría la actividad? ¿ Incluiría algún material didáctico nuevo o complementario? ¿ Por qué?

Desarrollo del razonamiento geométrico

Reconocimiento y Visualización

• Identificar propiedades física.
• Formular definiciones en función de las propiedades.
• Clasificar según propiedades físicas DESARROLLO DEL RAZONAMIENTO GEOMÉTRICO

Análisis y clasificación en geometría

Análisis

• Verificación por ejemplos Clasificación
• Deducir propiedades de objetos geométricos
• Hacer clasificaciones lógicas de familias de objetos matemáticos.

Nivel de los estudiantes

¿Dónde están nuestros estudiantes? ¿Es capaz de crear un producto, una evidencia de aprendizaje o defender un punto de vista? CREAR

Evaluación del conocimiento

¿Es capaz de hacer preguntas que cuestionen su conocimiento? ¿ Sabría justificar una postura o criterio? EVALUAR

Análisis de la organización de un tema

ANALIZAR ¿Puede distinguir las distintas partes del todo? ¿ Es capaz de visualizar la organización de un tema y detectar las conexiones?

Aplicación de lo aprendido

APLICAR ¿Puede emplear lo aprendido para algo concreto? ¿ Es capaz de detectar sus carencias cuando lo hace?

Comprensión y relación de conceptos

COMPRENDER ¿Puede explicar ideas o conceptos? ¿Es capaz de relacionarlos con otros? ¿Puede evocar algún tipo de conocimiento previo sobre el tema? RECORDAR

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Actividades para introducir un concepto

ACTIVIDADES PARA INTRODUCIR UN CONCEPTO

Actividades para descubrir formas geométricas

PARA DESCUBRIR FORMAS GEOMÉTRICAS EN EL ENTORNO

Actividades para demostrar propiedades

PARA DEMOSTRAR PROPIEDADES

Actividades para resolver problemas

PARA RESOLVER PROBLEMAS

Actividades para demostrar teoremas

PARA DEMOSTRAR TEOREMAS

Tipos de tareas

TIPOS DE TAREAS EJERCICIO PROBLEMA INVESTIGACIÓN

Actividades para profundizar y explicar conceptos

PARA PROFUNDIZAR EN CONCEPTOS PARA EXPLICAR CONCEPTOS

Tratamiento cualitativo: Problema 1

TRATAMIENTO CUALITATIVO Problema 1: La casa de Paco y la de Hugo tienen un corral donde se crían las gallinas. Dibújate los corrales en un folio y recortalos. ¿ En cuál de los dos corrales hay más espacio para que se muevan las gallinas? Nota .- Se proporcionará a los alumnos una copia de estas superficies para que puedan manipularlas.

Área como cantidad de plano ocupado

1. Área como cantidad de Plano ocupado por la superficie

Conservación del área de una superficie

CONSERVACIÓN DEL ÁREA DE UNA SUPERFICIE

• Evitar la confusión entre área y perímetro
• Disociación del área de la forma y del perímetro de la superficie

Manifestaciones del área: Magnitud autónoma

Manifestaciones del área 2. Área como magnitud autónoma (propiedad que posee una colección de objetos)

Área disociada del número que la mide. Área disociada de la forma de la superficie. Se utilizan tanto procedimientos numéricos como geométricos en tareas de comparación de áreas de superficies. Se realizan tareas de medida del área de una misma superficie, con el uso de diferentes unidades de medida.

El Tangram

El tangram es un puzzle de siete piezas que procede de China, y con el que se pueden construir más de 300 figuras diferentes. Las siete piezas resultan de la descomposición del cuadrado como se indica en la figura.Tangram

Problema 2: Construcción y análisis con Tangram

Problema 2: Construye con las siete piezas del tangram cada una de las figuras que a continuación se te presentan. Una vez construidas debes reproducirlas en tu libreta, indicando la posición de las piezas. Responde de forma razonada a la siguiente pregunta: ¿tienen todas estas figuras la misma área? ¿ y el mismo perímetro ?. Traza los ejes de simetría de todas las piezas del tangram C 5 MINUTOS

Tratamiento cualitativo: Tangram y ejes de simetría

TRATAMIENTO CUALITATIVO-Tangram-Ejes de Simetría 1 Eje de Simetría 4 Ejes de Simetría 0 Ejes de Simetría

Tm Tp C Tp Tg R Tg

Problema 3: Comparación de tamaños de figuras del Tangram

Problema 3: Compara los tamaños de las diferentes figuras del tangram. Rellenar la tabla comparando los tamaños a partir de la siguiente información:

Tp Tm Tg C R

Tp Tm 2 1 1 Tg C R

• El triángulo mediano es del triángulo grande.
• El triángulo mediano es que el cuadrado.
• El triángulo grande es del romboide. Área disociada del número que la mide.

Tm Tp C Tp Tg R Tg

Problema 3: Comparación de tamaños de figuras del Tangram (resuelto)

Problema 3: Compara los tamaños de las diferentes figuras del tangram. Rellenar la tabla comparando los tamaños a partir de la siguiente información:

Tp Tm Tg C R

Tp 2 4 2 2 Tm 1/2 2 1 1 Tg 1/4 1/2 2 2 C 1/2 1 1/2 1 R 1/2 1 1/2 1

• El triángulo mediano es 1/2 del triángulo grande.
• El triángulo mediano es igual que el cuadrado.
• El triángulo grande es el doble del romboide. Área disociada del número que la mide.

Problema 4: Cálculo de área y perímetro del Tangram

Problema 4: Suponiendo que la diagonal del cuadrado mide 8 cm. Calcular el área de todas las figuras del Tangram y comprobad el resultado con la tabla que comparaba los tamaños. Calcular el perímetro de cada una de ellas. 15 MINUTOS

Cálculos de área y perímetro de las piezas del Tangram

4 cm 2 cm 4 cm 2 cm 2 cm 4 cm 2 cm Área Tg: 4cmx4cm/2= 8 cm2 Perímetro Tg: 4cm+4cm+5,6cm=13,6cm Área Tm: 4cmx2cm/2= 4cm2 Perímetro Tm: 4cm+2,8cm+2,8cm=9,6cm Área Tp: 2cmx2cm/2= 2cm2 Perímetro Tp: 2cm+2cm+2,8cm=6,8cm Cuadrado: 2cmx2cm= 4cm2 Perímetro C: 2cm+2cm+2cm+2cm=8cm Romboide: 2cmx2cm= 4cm2 Perímetro R:2cm+2,8cm+2cm+2.8cm=9,6cm

Manifestaciones del área: Número de unidades

Manifestaciones del área 3. Area como número de unidades que recubren la superficie

Para que el alumno entienda el área como número de unidades que recubren la superficie, es necesario que éste comprenda el papel que juega la unidad de medida en el cálculo de áreas.

Problema 5: Determinación de unidades cuadradas

Problema 5: Determina el número de unidades cuadradas que están contenidas en la figura: La medición es un proceso por medio del cual se asigna un número al área

Problema 6: Comparación de unidades de área

Problema 6: Calcula cuántas figuras A caben en la figura (S), cuántas figuras B caben en la figura (S) y cuántas figuras C caben en la figura (S). Completa la tabla siguiente: Figura S (unidad A) Figura S (unidad B) Figura S (unidad C) Superficie 15 MINUTOS

• C A B B A C A B B La disociación del área del número que la mide es clave en la comprensión del papel que juega la unidad de medida, y en consecuencia en la comprensión del proceso de medida. Extraída de Musser & Burger (1988)

Relación inversa entre tamaño de unidad y número de unidades

Relación Inversa entre el tamaño de la unidad y el número de unidades que recubren la Superficie

Problema 7: Medición de área con diferentes unidades

Problema 7: Mide el área de la superficie (S), utilizando las unidades A, B, C y D. Completa la tabla siguiente:

(S) unidad A unidad B unidad C unidad D b)Completa la tabla: Unidades A B C D Objeto geométrico A B C D Nota .- Los alumnos dispondrán de una fotocopia de la superficie (S) y un juego con varias unidades A, B, C y D, del material que se pueda disponer: cartulina, plástico, ... Extraída de Peterson (1973)

Problema 8: Cubrir figuras con diferentes formas

Problema 8: ¿ Cuántas formas (unidades) como la A, B, C y D, son necesarias para cubrir de la mejor manera cada una de las figuras, que aparecen a continuación?

8 cm 8 cm 8 cm 8 cm 16 cm 40 cm A B C D Nota .- A los alumnos se les proporcionará cada una figura en una hoja diferente, así como un juego con las diferentes formas, A, B, C y D, con el fin de que las reproduzcan sobre la figura conforme las van iterando. 40 cm 32 cm 48 cm 40 cm 40 cm 40 cm 40 cm 40 0 .

Manifestaciones del área: Producto de dos dimensiones lineales

Manifestaciones del área 4. Área como producto de dos dimensiones Lineales (metodo indirecto)

Se trabajará realizando tareas de cálculo de áreas de superficies poligonales que puedan ser descompuestas en rectángulos y/o triángulos, utilizando para ello la fórmula para el cálculo del área de estos polígonos. Consisten en medir longitudes de los segmentos de la figura en cuestión y obtener el número de veces que contienen a la unidad por medio de una operación entre esas longitudes de segmentos bien elegidos de la figura.

Problema 9: Cálculo de área y lados de las piezas del Tangram

Problema 9: Un tangram es un antiguo puzzle chino en el que un cuadrado se corta en siete piezas como se ve en la figura: cinco triángulos, un cuadrado y un paralelogramo. Si el área de todo el tangram es 144 cm2, ¿cuánto vale el área de cada pieza? ¿ Cuánto miden los lados de cada una de ellas? PARA PRACTICAR EN CASA

Otro material útil: Pentominós

Otro material útil - Pentominós Un pentominó es una figura geométrica compuesta por cinco cuadrados unidos por sus lados. Existen doce pentominos diferentes que se nombran con las diferentes letras del abecedario a las que se asemejan.

F 1 L N P T U V W X Y Z

https://phet.colorado.edu/sims/html/area-builder/latest/area-builder_es.html

Área como número de unidades y producto de dimensiones

3. Área como número de unidades que recubren la superficie 4. Área como producto de dos dimensiones Lineales

Ejemplo de actividad: Cuantificación de superficie

Ejemplo de actividad Selecciona una unidad de medida no convencional que me permita cuantificar la cantidad de superficie de la figura construida. ¿ cuánto mide el área? ¿ Cómo se transformará la medida anterior si elegimos una unidad tres veces más pequeña? F +

Cálculo de perímetro y área de pentominós

Calcular el perímetro y el área de cada pieza del pentominó. 12 12 12 12 12 12 10 12 12 12 12 12

• ¿ Qué puedes deducir?

Dificultades y "Errores" de aprendizaje del Área

Error operacional: Confusión entre área y perímetro

Operacional Se manifiesta como un error computacional CONFUSIÓN ENTRE EL ÁREA Y EL PERÍMETRO

• Calcular el área como si se tratara de un perímetro, sumando las longitudes de los lados. Calcular el perímetro dividiendo el área. Comienza cuando se enseña el cálculo del área y del perímetro de una superficie mediante el uso de fórmulas.

Error conceptual: Falta de comprensión de área y perímetro

Conceptual Hay alumnos que no saben lo que es el área y el perímetro de una superficie, sin embargo, calculan correctamente la medida del área de las distintas superficies poligonales.

Causas metodológicas de la confusión entre área y perímetro

CONFUSIÓN ENTRE EL ÁREA Y EL PERÍMETRO CAUSAS-METODOLÓGICAS Reducir, el cálculo del área de superficies mediante el uso de fórmulas. El valor que damos como profesores a los cálculos, tanto correctos como erróneos El tipo de ejercicios que debemos presentar a los alumnos, con el fin de que el cálculo de áreas y perímetros de superficies no se limite a la aplicación rutinaria de unas fórmulas.

Causas de la naturaleza del contenido

CAUSAS-NATURALEZA DEL CONTENIDO La falta de comprensión por parte de los alumnos del carácter bidimensional que posee las fórmulas para el cálculo del área , que se obtiene como producto de dos dimensiones unidimensionales, frente al carácter unidimensional del perímetro , que se obtiene como suma de dimensiones unidimensionales.