Geometría plana: transformaciones, tangentes y curvas

Índice

Esquema Ideas clave

Introducción y objetivos

5.1. Introducción y objetivos

Transformaciones isométricas

5.2. Transformaciones isométricas

Transformaciones isomórficas

5.3. Transformaciones isomórficas

Transformaciones anamórficas

5.4. Transformaciones anamórficas

Tangentes

5.5. Tangentes

Enlaces

5.6. Enlaces

Curvas

5.7. Curvas

Conclusiones

5.8. Conclusiones

Referencias bibliográficas

5.9. Referencias bibliográficas

A fondo

Más por menos Transformaciones geométricas Curso básico de tangencias en dibujo técnico Software matemático GeoGebra Test@ Universidad Internacional de La Rioja (UNIR)

SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA

GEOMETRÍA PLANA II

Transformaciones

• Isométricas
• Isomórficas
• Anamórficas

Semejanza

• Dibujo a escala

Homología

• Centro
• Eje
• Dirección

Afinidad

• Eje

Tangencias

• Rectas
• A circunferencia en un punto.
• A circunferencia según una dirección.
• A circunferencia desde un punto exterior.
• Exteriores a dos circunferencias.
• Interiores a dos circunferencias.

Enlaces

• Rectas
• Entre dos rectas con un radio de arco dado.
• Entre dos rectas con un punto de tangencia dado.
• Entre dos paralelas con puntos de tangencia dados e igual radio.
• Entre rectas dado un punto de tangencia o el radio del arco.
• Circunferencias
• A dos rectas dadas.
• A recta y a circunferencias dadas. .
• A tres rectas dadas.

Circunferencias

• Entre dos circunferencias con un arco de radio dado.

Recta -circunferencia

• Entre recta y circunferencia con punto de tangencia dado en recta.

Curvas

• Óvalo
• Ovoide

Sistemas de Representación Geométrica Tema 5. Esquema

Esquema

• Traslación
• Homotecia
• Giro
• Simetría
• Axial
• Central

Ideas clave

Introducción y objetivos del Tema 5

5.1. Introducción y objetivos En las bases de los sistemas de representación geométrica está la geometría plana, por lo que, además de estudiar las propiedades de los elementos básicos y las formas geométricas en el plano, es importante comprender los principios de sus transformaciones geométricas y conceptos de tangencias y enlaces que permiten la construcción de formas más elaboradas que serán representadas en geometría descriptiva. Inicialmente se analizan las transformaciones geométricas, las cuales se dan cuando están presentes leyes de correspondencia entre dos o más elementos, partiendo de un elemento original y sus transformaciones en nuevos elementos homólogos o transformados. Según el aspecto o resultado de la figura homóloga, las transformaciones pueden ser isometricas, isomórficas y anamórficas. Seguidamente se analizan tangencias, enlaces, óvalos y ovoides para facilitar la comprensión de nociones básicas en geometría descriptiva. Al finalizar se plantea que el alumno cumpla con los siguientes objetivos:

• Aplicar transformaciones geométricas teniendo en cuenta los tipos y las categorías isométricas, isomórficas y anamórficas, que las diferencian.
• Identificar cuando se presenta una tangencia entre dos circunferencias o una recta y una circunferencia, y poder hallar puntos de tangencia y resolver problemas de tangencias planteados.
• Comprender la definición de enlaces, reconocer cuando se cumplen y generar la unión de elementos como rectas, arcos o rectas y arcos entre sí.
• Aplicar los principios de tangencias y enlaces en la construcción de óvalos y ovoides mediante arcos de circunferencias que sean tangentes entre sí.

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Ideas clave

Transformaciones isométricas en geometría

5.2. Transformaciones isométricas En las transformaciones isometricas la figura transformada conserva la forma, los ángulos y las dimensiones de la figura original, pero ubicada en una posición diferente. Las transformaciones isometricas son translación, giro y simetría.

Translación geométrica

Es una transformación geométrica en la cual todos los elementos (puntos, líneas, etc.) que componen una figura A se desplazan hacia una dirección, sentido y distancia para corresponder con la figura A'. En esta transformación hay un módulo vector que define la dirección y distancia entre la posición original y la final.

A' A 2 Figura 1. Translación de una figura. Fuente: elaboración propia. La translación hace que la figura se desplace y que todos sus puntos describan segmentos paralelos y de igual longitud, al igual que sus rectas, paralelas a sí mismas.

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Ideas clave

Giro o rotación de figuras

El giro o rotación es una transformación geométrica en el plano en la que todos los elementos (puntos, líneas, etc.) que componen una figura A giran hacia otra posición determinada por un punto fijo o centro de giro y un ángulo de giro que determinará su nueva ubicación para corresponder con la figura A'. En esta transformación, partiendo de la figura original, todas las distancias y los ángulos de los elementos al centro de giro de la figura girada son iguales.

A' +60 ÁNGULO DE GIRO a A CENTRO DE GIRO Figura 2. Rotación de una figura. Fuente: elaboración propia. El giro hace que la figura y todos sus elementos a partir de un centro describan una amplitud del ángulo (a) determinado. El giro es considerado positivo si este se produce en sentido opuesto a las agujas del reloj y negativo cuando se hace en el sentido de las agujas del reloj.

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Ideas clave

Simetría y reflexiones en geometría

Las simetrías o reflexiones en la geometría plana son transformaciones basadas en correspondencias exactas en la disposición regular de los elementos que componen una figura a partir de un punto o centro, una recta o eje o un plano. En estas transformaciones las figuras se reflejan a sí mismas, ya sea de arriba abajo, de izquierda a derecha o viceversa, sin alterar sus dimensiones ni su forma. A continuación, se comentan los tipos de simetrías principales: axial y central.

Simetría axial o reflexión especular

La simetría axial o reflexión especular es una transformación geométrica producida cuando a los elementos que componen una figura A se les fija una recta (r) o eje de reflexión a partir del cual se proyecta una figura A' en sentido inverso y a la misma distancia del eje de simetría. Si se trazasen segmentos entre los puntos de los elementos de las figuras A y A', el eje de simetría o la recta (r) sería la mediatriz de cada segmento.

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Ideas clave

EJE DE SIMETRIA A A' 1 Figura 3. Simetría axial de una figura. Fuente: elaboración propia. La simetría axial hace que la orientación de las figuras se invierta, pasando los puntos, líneas y demás elementos que componen la figura de la izquierda a la derecha en sentido opuesto a partir del eje de simetría.

Simetría central de figuras

Es una transformación en la cual a los elementos que componen una figura A les corresponden unos elementos que forman una figura A' a partir de una rotación de 180° sobre un punto (o). Lo cual significa que, si se le da media vuelta a la figura a partir del punto de simetría, esta coincidiría exactamente consigo misma.

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Ideas clave

180° A A' CENTRO DE SIMETRÍA Figura 4. Simetría central de una figura. Fuente: elaboración propia. En la simetría central, a cada punto le es asociado otro punto llamado imagen, donde el punto y su imagen estarían a igual distancia del centro de simetría. Es por ello por lo que el punto, su imagen y el centro de simetría pertenecerían a una misma recta.

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Ideas clave

Transformaciones isomórficas en geometría

5.3. Transformaciones isomórficas En las transformaciones isomórficas la figura transformada conserva la forma y los ángulos de la figura original, pero cambia las dimensiones. En este tipo de transformaciones la figura original y la transformada son iguales y las longitudes son proporcionales. Las transformaciones isomórficas son la homotecia y la semejanza.

Homotecia y factor de escala

Es una transformación en la que las distancias de todos los elementos (puntos, líneas, etc.) que componen una figura A se multiplican por un mismo factor de escala (k) a partir de un centro (o) para generar una figura A' de diferente tamaño. La homotecia puede ser directa o inversa, dependiendo que su factor k sea positivo o negativo.

CENTRO DE HOMOTECIA A' A K=2. Figura 5. Homotecia directa de una figura con razón de 2. Fuente: elaboración propia. En la transformación homotética los segmentos que unen cada punto de la figura A corresponden a los de la figura A' y, al mismo tiempo, están alineados con un punto fijo (o) llamado centro de homotecia, siendo el factor de escala k la razón de homotecia.

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Ideas clave

El centro de la homotecia puede estar al exterior o al interior del segmento que une dos puntos homotéticos.

CENTRO DE HOMOTECIA A' 0 A K =- 0,5 Figura 6. Homotecia inversa de una figura con razón de -0,5. Fuente: adaptado de García, 2010. En la transformación homotética inversa los segmentos que unen a cada punto de la figura A y a los de la figura A' se cortan en el centro de homotecia (o), siendo el factor de escala k negativo. Es decir, todos los elementos, puntos iniciales y sus homotéticos quedan en distintos lados del centro de la homotecia.

Semejanza de figuras geométricas

Una transformación de semejanza es una correspondencia biunívoca en donde todos los elementos, puntos, líneas, etc. que componen una figura A son homólogos a una figura A', mediante un factor k, llamado también razón de semejanza. Esta transformación es verificada cuando A' = k (A). En la semejanza se transforman rectas en rectas, circunferencias en circunferencias y triángulos en triángulos semejantes.

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Ideas clave

C' D' K=2 C D e A Y B A B a a E B E' B' Figura 7. Semejanza de una figura con razón de 2. Fuente: elaboración propia. Entre dos figuras, cuando la razón de semejanza es una unidad, ambas figuras son iguales. En resumen, si dos figuras son semejantes tienen la misma forma sin importar el tamaño entre ellas; un ejemplo de ello es cuando se dibuja a escala. Esta es la razón de semejanza entre el dibujo y el objeto representado, como dos mapas a diferente escala. La diferencia entre semejanza y homotecia es que, en esta última, siempre se define un centro de homotecia, mientras que en la semejanza es posible utilizar cualquier punto. Por lo tanto, en un problema de homotecia siempre se da el centro o datos para calcularlo, y en la semejanza no, se debe elegir el que más convenga.

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