Econometría I: Conceptos fundamentales y aplicaciones

Econometría I

MTRO. MARCO MÉNDEZ ATIENZA

Try PitchTemario (Caps. Gujarati)

• Multicolinealidad (10.1 - 10.5, 10.7 - 10.9)
• Heterocedasticidad (11.1, 11.3 - 11.6, 11.8)
• Autocorrelación (12.1 - 12.2, 12.4, 12.6 - 12.7, 12-10)
• Ecuaciones simultáneas (18.1 - 18.4, 19.2 - 19.3, 20.2 - 20.4
• Variable dependiente binaria (15.1 - 15.3, 15.5, 15.8 - 15.10)

Heterocedasticidad

Heterocedasticidad: Varianza del error no constante

Try Pitch2. Heterocedasticidad Try Pitch11.1 GUJARATI Heterocedasticidad ¿Qué pasa si la varianza del error es no constante?

• Como revisamos en el curso pasado, uno de los supuestos esenciales del modelo de regresión lineal es que la varianza de cada término de perturbación ui, condicional a los valores de X, sea un número constante igual a o2.
• Es decir, queremos que la varianza de los errores sea homocedástica: E ( v 2 ) = 02 ; i = 1 , 2 , .. . , "
• También revisamos cómo esto se ve gráficamente. En la figura de abajo, la varianza crece conforme aumenta X -> ¡lo que indica una varianza no constante / heterocedástica! E (v: 2 ) = 0-2 Density Savings - Y B1 +B2Xi Income X E ( v 2 ) = 0 2 Density Savings Y 1 B1 + B2Xi Income X

Causas de la varianza variable en errores

Try Pitch11.1 GUJARATI Heterocedasticidad ¿Por qué la varianza de los errores podría ser variable?

1. Dependiendo de los datos, los errores podrían ir disminuyendo conforme avanza el tiempo o se incrementa otra variable. Consideren la siguiente figura, que relaciona el número de errores de escritura (typos) con el número de horas en cursos de mecanografía. Como muestra la figura, mientras el número de horas de práctica aumentan, el número promedio de errores decrece. Density Typing errors Y 1 B1 + B2Xi Hours of typing practice X

Varianza de errores y discrecionalidad

Try Pitch11.1 GUJARATI Heterocedasticidad ¿Por qué la varianza de los errores podría ser variable?

1. Cuando el ingreso se incrementa, las personas cuentan con más discrecionalidad. Así hay más posibilidades para gastar el dinero, lo que aumentará la varianza de lo que cada persona ahorra. Puede haber gente que con más dinero empiece a ahorrar más, pero gente que hará lo contrario. Density Savings Y ₿1 + B2Xi Income X

Varianza de errores y técnicas de recolección

Try Pitch11.1 GUJARATI Heterocedasticidad ¿Por qué la varianza de los errores podría ser variable?

1. Mientras las técnicas de recolección de datos, se esperaría que la varianza de los errores disminuya.
2. La heteroscedasticidad también puede surgir como resultado de la presencia de valores atípicos (outliers). Un outlier es una observación que es muy diferente (muy pequeña o muy grande) en relación con las observaciones de la muestra. La inclusión o exclusión de una observación de este tipo, especialmente si el tamaño de la muestra es pequeño, puede alterar sustancialmente los resultados del análisis de regresión. 25 . Chile 15 10 Stock prices (% change) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 26 Consumer prices (% change)

Heterocedasticidad en análisis de corte transversal

Try Pitch11.1 GUJARATI Heterocedasticidad

• La heterocedasticidad suele aparecer más en análisis de corte transversal que en series de tiempo.
• En los datos transversales, normalmente se trata de miembros de una población en un momento dado, como consumidores individuales o sus familias, empresas, industrias o subdivisiones geográficas como un estado, un país, una ciudad, etc. Estos miembros pueden ser de distintos tamaños, como empresas pequeñas, medianas o grandes, o de ingresos bajos, medios o altos. En cambio, en los datos de series temporales, las variables tienden a ser de un orden de magnitud similar porque generalmente se recogen los datos de la misma entidad a lo largo de un periodo de tiempo.

Estimación MCO con heterocedasticidad

Modelo de 2 variables y varianza

Try Pitch11.2 GUJARATI Estimación MCO con heterocedasticidad

• Consideren el modelo de 2 variables: y= = P1+B2 Xi tui
• Asumimos que: Var (vi) = 0:2
• Recordemos que : B= = = (Xi -x) (y ;-; ) E (xi-x) 2 4 = hEyi y sabemos que: 又 = 금 산 x:
• Sustituirmos y = P1+B2 Xitui: y: - y = p2 (xi -x) + (vi -= ) -> B1 desaparece al restan medias ? (xi-x) [B2 (Xi-x) +(vi-[] E (xi-x) 2 B2 = B2 + 2(xi -x) (vi -= ) Elxi-x)2 - Sacamos la varianza Van (B2) = Van ( E(xi-x) (vi -= ) E ( x1 - x ) 2 = ) -> sabemos que las X provenen de los datos => son "fijas" 0 E ( xi - x ) 2 (2) ( x- x ) 252 Van (vi -= ) O - Var (vi -= ) = Van (vi) + Var (v) - 2 Cov (vi, =) Non (B2 ) = E (xi-x) o:2 ( E ( xi - x ) 2 ) 2 Compañento con la varianza del B2 cuando hay homocedasticidade: Van ( B2 ) =_ 02 Elxi-x) }

Estimador MCO y homocedasticidad

Try Pitch11.2 GUJARATI Estimación MCO con heterocedasticidad var (₿2) = (Ex2)2

• Recuerden que el estimador MCO es el BLUE si se cumplen los 6 supuestos que revisamos el curso pasado, incluyendo homocedasticidad.
• ¿ Qué ocurre si se cumplen todos los supuestos, excepto el de homocedasticidad?
• El estimador MCO continuará siendo lineal e insesgado, ¡pero ya no el mejor! - > ya no será BLUE, sino LUE

Mínimos Cuadrados Generalizados (MCG)

Compensación promedio por empleado

Try Pitch11.3 GUJARATI Mínimos Cuadrados Generalizados (MCG)

• Consideren los siguientes datos sobre la compensación promedio por empellado en diferentes industrias y por tamaño de empresa. Employment Size (average number of employees) Industry 1-4 5-9 10-19 20-49 50-99 100-249 250-499 500-999 1,000-2,499 Food and kindred products 2,994 3,295 3,565 3,907 4,189 4,486 4,676 4,968 5,342 Tobacco products 1,721 2,057 3,336 3,320 2,980 2,848 3,072 2,969 3,822 Textile mill products 3,600 3,657 3,674 3,437 3,340 3,334 3,225 3,163 3,168 Apparel and related products 3,494 3,787 3,533 3,215 3,030 2,834 2,750 2,967 3,453 Paper and allied products 3,498 3,847 3,913 4,135 4,445 4,885 5,132 5,342 5,326 Printing and publishing 3,611 4,206 4,695 5,083 5,301 5,269 5,182 5,395 5,552 Chemicals and allied products 3,875 4,660 4,930 5,005 5,114 5,248 5,630 5,870 5,876 Petroleum and coal products 4,616 5,181 5,317 5,337 5,421 5,710 6,316 6,455 6,347 Rubber and plastic products 3,538 3,984 4,014 4,287 4,221 4,539 4,721 4,905 5,481 Leather and leather products 3,016 3,196 3,149 3,317 3,414 3,254 3,177 3,346 4,067 Average compensation 3,396 3,787 4,013 4,104 4,146 4,241 4,388 4,538 4,843 Standard deviation 742.2 851.4 727.8 805.06 929.9 1,080.6 1,241.2 1,307.7 1,110.7 Average productivity 9,355 8,584 7,962 8,275 8,389 9,418 9,795 10,281 11,750 Noten qué ocurre con la variación de empresas de 1 - 19 empleados. ¿ Y qué pasa con las de 250-999? La intuición de MCG es darle más peso a las empresas de 1-19 empleados que a las más grandes, ya que las primeras están más "concentradas" alrededor de la media -> nos sirven más para estimar la PRF con más precisión que aquellas observaciones muy "dispersas" alrededor de la media.

Estrategia de MCG

Try Pitch11.3 GUJARATI Mínimos Cuadrados Generalizados (MCG)

• Lamentablemente, MCO no sigue esta estrategia porque no toma en cuenta esta información sobre la variación desigual de los datos.
• ¡ Pero MCG sí toma en cuenta esto! - > y permite derivar estimaciones que serán BLUE.
• Retomemos el modelo de dos variables: y: = B1 + B2 Xi +ui en donde, para facilitar los pasos siguientes, reescribiremos como: yi = p. Xoi + B2 Xi +vi en donde Xoi = 1 para cada i.

Varianza del error en MCG

Try Pitch11.3 GUJARATI Mínimos Cuadrados Generalizados (MCG)

• Ahora, asuman que las varianzas heterocedásticas o;2 son conocidas. Dividimos la ecuación anterior por o; para obtener: Xoi yi oi · = B. ( oi + B2 ( xi ) + (x) que, por facilidad, escribiremos: y+ = B1* Xoï + Bž X:+ + vi donde las variables estrellita son las variables originales divididas por la o; (conocida) -> noten que entonces las B* no son las mismas que las ß que estimamos con MCO. Noten ahora qué ocurre con la varianza del error: Var (v*) = E (v+) 2 = E ( ¿) 2 = + E ( v 2 ) = - 2 ( 0-2 ) dado que se conoce o" 0.2 02 11 = 1 ! que es una constante. ¡ Entonces, la varianza del término de error estrellita u ;* es ahora homocedástica!

Estimadores BLUE con MCG

Try Pitch11.3 GUJARATI Mínimos Cuadrados Generalizados (MCG)

• Entonces, este resultado nos indica que si aplicamos MCO al modelo transformado (modelo estrellita), y obvio si se cumplen los demás supuestos, obtendremos estimadores BLUE.
• MCG, entonces, es el método de transformar nuestras variables, que sigan cumpliendo los supuestos, y que al aplicar MCO obtengamos estimadores BLUE.
• En el Appendix 11A, Section 11A.2 del libro pueden encontrar la derivación detallada, pero la fórmula para obtener los estimadores de MCG es: (E wi) (Eui Xi Vi) - (Éwixi) (Ewiyi) (Ewi) ( Ewi X2) - (Ewi Xi) 2 donde wi = 1/0:2 A B2 = *

Diferencia entre MCO y MCG

Minimización de residuales

Try Pitch11.3 GUJARATI Diferencia entre MCO y MCG

• Recuerden que en MCO, minimizamos: == = = (y :- Bi- p2 Xi) 2
• Y en MCG, minimizamos: Ewii? = Ewilyi-B* Noi - B2" X:) 2
• Entonces, en MCG minimizamos la suma ponderada de residuales cuadrados con wi = 1/6;2 como los pesos.
• Noten que en MCG, el peso asignado a cada observación es inversamente proporcional a su oi -> entonces, las observaciones que provengan de una "sección" con gran varianza tendrán un peso menor; las observaciones de la "sección" con menos varianza tendrán un peso mayor. Y C Ŷ¡ = Î,+Î2×; û SŁA 1 û B* 1 0 - X Los estimadores de MCG se llamarán WLS (weighted least squares)

Consecuencias de la heterocedasticidad

Simulación Monte Carlo

Try Pitch11.4 GUJARATI Consecuencias de la heterocedasticidad

• ¿ Cuál es la consecuencia específica si usamos MCO para datos con heterocedasticidad?
• Davidson y Mackinnon realizaron una simulación Monte Carlo para comprobar dichas consecuencias.
• La tabla de abajo muestra el error estándar para las estimaciones de B1 y ß2, mediante tres métodos:
• MCO normal (asumiendo que no sabemos que hay heterocedasticidad en los datos)
• MCO permitiendo heterocedasticidad (indicándole al software que sabemos que hay heterocedasticidad, y aún así forzando la estimación con MCO)
• MCG Standard error of ₿1 Standard error of ₿2 Value of & OLS OLShet GLS OLS OLShet GLS 0.5 0.164 0.134 0.110 0.285 0.277 0.243 1.0 0.142 0.101 0.048 0.246 0.247 0.173 2.0 0.116 0.074 0.0073 0.200 0.220 0.109 3.0 0.100 0.064 0.0013 0.173 0.206 0.056 4.0 0.089 0.059 0.0003 0.154 0.195 0.017 Try Pitch Conclusión: si hay heterocedasticidad, usa MCG.

Detección de heterocedasticidad

Método gráfico para heterocedasticidad

11.5 GUJARATI Detección de heterocedasticidad Método gráfico

• Algo importante: no existe información a priori sobre alguna naturaleza de la heterocedasticidad. Es decir, hemos revisado ejemplos en donde la varianza va a aumentando o disminuyendo, pero en la realidad, la varianza podría cambiar con base en una lógica mucho más complicada.
• Cuando sí existe una lógica o patrón más claro, el método gráfico es útil.
• (a) muestra que no hay patrón sistemático -> no hay heterocedasticidad
• De (b) a (e) sí hay patrones sistemáticos -> sí hay heterocedasticidad û2 û2 û2 X X X 0 0 0 (a) (b) (c) û2 ^2 X - X 0 0 (d) (e) Try Pitch