Prismas y pirámides: cálculo de superficies en geometría sólida

Colegios Ramón y Cajal

Prismas y pirámidesColegios Ramón y Cajal ? ? ¿Qué tipo de poliedro es este?Colegios Ramón y Cajal http://www.youtube.com/watch?v=P1m8J4aufCs&feature=relatedÁREA DE UN PRISMA Colegios Ramón y Cajal

+ h 1 1 1- T h - 6.1= p A prisma = A lateral + 2.A baseColegios Ramón y Cajal

Ejemplo 1: Cálculo de superficie de celda hexagonal

Ejemplo 1 Vamos a calcular la superficie de una celda con forma de prisma hexagonal de un panel de abejas sabiendo que el lado de la base y la altura del prisma miden 4 y 8 milímetros, respectivamente. La superficie lateral de cada celda es: A, =p .h=4.6.8=192 mm2. Para hallar la apotema de la base se aplica el teorema de Pitágoras: 42 = a2 + 22 => a2 = 42 -22=> a =\12 =3,46 mm P BASE p ·a 2 0 A = = 2 = 41,52 mm2 =192+41,52=233,52 mm 2 A,=A, +A BASE P 24 .3,46 4 mm 8 mm ap 2 mmColegios Ramón y Cajal

Tu minuto de gloria

Preparación para la actividad en grupo

'Tu minuto de gloria" 3 Grupos de 4: Cada miembro del grupo debe tener preparado el siguiente material:

• Los cuatro desarrollos de prismas
• Tres bolis, uno rojo, uno verde y uno azul
• Regla graduadaColegios Ramón y Cajal

Instrucciones para la actividad

1. A coge el desarrollo del prisma triangular, B el del prisma cuadrangular, C el del pentagonal y D el del hexagonal. 2. A, B, C y D señalan los elementos necesarios para calcular el área del prisma, tanto en el desarrollo como en el dibujo tridimensional del prisma que tienen. 3. A muestra y explica el trabajo realizado. B, C y D escuchan y hacen lo mismo en su prisma triangular. 0 A D B CColegios Ramón y Cajal

Actividades y preguntas de estudio

· Recortar los dibujos tridimensionales de los cuatro prismas, pegarlos en el cuaderno y calcular sus áreas. · Estudiar teoría. · ¿ Qué es un prisma? · ¿ Cómo se nombran los prismas? · ¿ Qué es un prisma recto? ¿ Cómo se llaman los prismas que no son rectos? · ¿ Qué diferencia hay entre un prisma cóncavo y uno convexo? · ¿ Qué es un prisma regular? · ¿ Cuáles son los elementos? · ¿ Qué es un paralelepípedo? · ¿ Qué es un ortoedro? · ¿ Cómo se calcula el área lateral de un prisma? • ¿Y el area total?Colegios Ramón y Cajal

Unidades de volumen y capacidad

Escalera de unidades de volumen

Recordamos las unidades de volumen y capacidad Remember Copia y completa la escalera con los símbolos de las unidades de volumen y con las operaciones que hay que hacer para subir o bajar cada escalón 3 dan? : 1.000 3 x 1.000 3 dm 3 CM 3Colegios Ramón y Cajal

Colocación de unidades de capacidad

Ahora coloca en el escalón que corresponda los símbolos de litro, el kilolitro y el mililitro. 3 7 3 kl dan? : 1.000 l 3 ml x 1.000 dm 3 3 CM 3Colegios Ramón y Cajal

PRISMAS

Definición de prisma

PRISMAS Un prisma es un poliedro que verifica que: · Tiene dos caras paralelas e iguales denominadas bases. · El resto de caras son paralelogramos y se denominan caras la- terales. Los prismas se nombran según el número de lados de sus bases. - -

Tipos de prismas

Tipos de prismas Los prismas pueden ser: · Rectos si sus caras laterales son rectángulos. En caso contrario son oblicuos. · Convexos cuando el polígono que forma las bases es convexo. · Cóncavos si las bases son polígonos cóncavos. · Regulares cuando son rectos y sus bases son polígonos regu- lares. En caso contrario son irregulares.Colegios Ramón y Cajal

PARALELEPÍPEDOS/ORTOEDROS

Paralelepípedos

Paralelepípedos Un paralelepípedo es un prisma convexo cuyas bases también son paralelogramos. Por tanto, tiene por caras seis paralelogramos que son paralelos dos a dos. h La altura h de un paralelepípedo es la distancia que separa sus bases.

Ortoedros

Ortoedros Cuando todas las caras de un paralelepípedo son rectángulos se denomina ortoedro. Los ortoedros están formados por seis rectángulos paralelos e igua- les dos a dos. T h 1 1 La altura de un ortoedro coincide con la longitud de una de sus aristas.Colegios Ramón y Cajal

VOLUMEN DE UN ORTOEDRO

Cálculo del volumen

¿ Cuál es el volumen de este ortoedro? V = 24 cm3 1 cm 1 cm 1 cm El volumen de un ortoedro de dimensiones a, b y c es: V ORTOEDRO =A BASE · altura = a . b . cColegios Ramón y Cajal

VOLUMEN DE UN PRISMA

Principio de Cavalieri

El volumen de un prisma de base cualquiera, se calcula aplicando el principio de Cavalieri: es igual que el de un ortoedro con la misma sección, es decir, con la misma área de la base. 1 I I I - - I h I I 1 - 1 1 - / 1 El volumen de un prisma de altura h es: V PRISMA =A BASE · hColegios Ramón y Cajal

Cálculo de área, volumen y capacidad

Calcular el área, el volumen y la capacidad en litros de estos prismas. a) b) 1, 2 7 2 3 8PIRÁMIDES Colegios Ramón y Cajal

Pirámides

Tipos de pirámides

Pirámide triangular Pirámide cuadrangular Pirámide pentagonal Pirámide hexagonal Una pirámide está formada por una base, que es un polígono cualquiera, y caras laterales que son triángulos que concurren en un punto llamado vértice de la pirámide.PIRÁMIDES Colegios Ramón y Cajal

Elementos de una pirámide

h: altura A, h - ap 1 Ap: apotema de la pirámide ap: apotema de la base La altura, la apotema de la base y la apotema de la pirámide forman un triángulo rectángulo. Por tanto se cumple el teorema de Pitágoras: Ap2=h2+ap2Colegios Ramón y Cajal

ÁREA DE UNA PIRÁMIDE

Cálculo del área de una pirámide regular

¿Cómo se calcula el área de una pirámide regular? Ap h ap El área lateral de una pirámide regular es la suma de la de todos los triángulos isósceles que forman las caras: A =- . p . A 2 1 p El área total de una pirámide regular es: A =A + Ą BASE 1 = 2 .p. A. + Pap p. a p 2 1 2 p.(A +a )Colegios Ramón y Cajal

Ejemplo de cálculo de áreas

5. Calcula las áreas lateral y total de la pirámide regular de la figura. 5 cm 3 cmColegios Ramón y Cajal

VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE

Relación con el volumen de un prisma

Veamos qué relación hay entre el volumen de una pirámide y el de un prisma. Por tanto, ¿cuál es la fórmula para calcular el volumen de la pirámide? ? ? Vprisma Abase · h base V. pirámide 3 3Colegios Ramón y Cajal

Cálculo de volumen, capacidad y área de pirámides

Calcula el volumen, la capacidad en litros y el área de las siguientes pirámides. a) 10 cm 6 cm a) ABASE = 62 = 36 cm2 V= ABASE . h _ 36.10 3 3 = 120 cm3Colegios Ramón y Cajal

Cálculo de volumen, capacidad y área de pirámide (b)

Calcula el volumen, la capacidad en litros y el área de la siguiente pirámide. b) 8 cm - 6 cm b) Altura de la base: hB = 162 -32 = 5,2 cm ABASE = 6-5,2 2 = 15,6 cm 2 = 15,6.8 3 = 41,6 cm 3 V= ABASE . h 3Colegios Ramón y Cajal

Cálculo de cuerpo y volumen de la Gran Pirámide

* Calcular el área lateral y total, el volumen y la capacidad en litros del siguiente cuerpo 6 cm V = ABASE ' h = 6 . V102 -62 2 . 4= 6.V64 2 4 = 96 cm3 4 cm 10 cm * La Gran Pirámide de Giza es la única que perdura de las siete maravillas del mundo antiguo. Actualmente tiene una altura de 137 m y la base es un cuadrado de 230 m de lado. ¿Cuál es su volumen aproximado? El área de la base es: B = 230 . 230 = 52.900 m2 Su volumen aproximado es: 3 52900-137 V= =2.415.767 m3