Meccanica Razionale: domande e risposte per l'esame orale universitario

Meccanica Razionale: Domande e Risposte Esame Orale

Gaia Berta, Francesca Biora 7 aprile 2023 Buondì a tutti, questo file contiene le risposte alle domande di meccanica razionale in vista dell'orale. Premetto che io e la mia collaboratrice, puntiamo al 18, per cui se tu, lettore, aspiri ad un 28 o 30, ti conviene leggere le dispense del prof Magnano che sono più complete e dettagliate; se invece, come noi, non sai da che parte girarti e meccanica non è per niente il tuo forte, magari questo riassunto può salvarti se scopri di aver preso una D allo scritto. Buona lettura e buona fortuna per l'esame :)

Meccanica Lagrangiana

Moto su Superficie Liscia

Una superficie liscia è una superficie priva di attrito, andiamo a studiare come si ricava l'equazione del moto di un punto materiale su una superficie di questo tipo. Consideriamo un singolo punto materiale soggetto al vincolo scleronomo (indipendente dal tempo) f(x2)=0 Vi=1, ... ,n Lo spazio delle configurazioni concide con la superficie definita dall'equazione di vincolo e la su- perficie è immersa nello spazio affine euclideo. Come prima cosa si sceglie una parametrizzazione del punto, indicata con x2 = x2(q^), dove le q^ vengono chiamate coordinate lagrangiane. La velocità diventa quindi: v= 02° at λ (1.1) Posti ex = og- ci allora v diventa: v = q^e) (1.2) La (1.2) ci dice che tutte le velocità possibili nel punto sono combinazioni lineari di questi due vettori, perciò appartengono ad un sottospazio bidimensionale detto piano tangente al punto, che rimane invariante per parametrizzazione. Per dimostrarlo si consideri una seconda parametrizzazione con coordinate Q" e definendo Ex = 20 Ci tali che v = Q'Ex, per la proprietà di derivazione delle funzioni composte si ha: QH = 8QH λ OQH ex = agt Eu Dunque la jacobiana del cambiamento di coordinate connette linearmente sia le componenti la- grangiane della velocità sia le componenti delle basi ex e Eu. Questo significa che le coppie di vettori appartengono allo stesso piano tangente! Un generico vettore tangente u appartenente al piano si può scrivere u = u^ex dove ep è un vet- tore della base naturale associata alle coordinate q". I vettori della base naturale sono i vettori velocità corrispondenti alle curve coordinate; ad esempio, preso come spazio la sfera, le curve coor- dinate non sono altro che i meridiani e i paralleli. Definiamo gli elementi della matrice dei prodotti scalari: Te1 . e1 e1 . €2 e2. e1 €2 . €2 (1.3) questa matrice è sempre simmetrica. Gli elementi delle matrice possono essere costruiti anche in questo modo: Auv = Cp Cv = 2gH Iqv C . C.j se la terna cartesiana c¿ nello spazio affine tridimensionale è ortonormale, allora la matrice si ottiene come prodotto tra la matrice jacobiana della parametrizzazione e la sua trasposta. Presi due vettori u e v, entrambi tangenti alla superficie nello stesso punto, si ha: u.v=""wellv =Auvu"u" 2Quindi la matrice (1.3) rappresenta la forma bilineare simmetrica e definita positiva, detta prima forma fondamentale (o metrica) della superficie. Ora si hanno tutti gli elementi per scrivere l'energia cinetica di un punto materiale: T=>mv2=5má哿" (1.4) A questo punto possiamo scrivere l'accelerazione del punto materiale, che servirà per lo studio del moto del punto. In generale l'accelerazione istantanea è data da: v(t +h) -v(t) a(t) = lim h->0 h (1.5) scrivendo v in coordinate cartesiane: v = '(t)c;, allora l'accelerazione risulta a = 2 (t)ci = ï¿(t)c ¿. Nel calcolare la variazione di velocità da un punto all'altro dobbiamo considerare sia la va- riazione nelle componenti lagrangiane q^(t) sia la variazione da un punto all'altro nei vettori e; della base naturale. L'equazione della accellerazione è data da: a="ex+ªd(ex) (1.6) dove con a (ex) si intende il limite per h -> 0 della differenza tra il vettore e) nel punto P(t +h), traslato in P(t), e il vettore ex definito nel punto P(t), divisa per h. Per determinare una terna di vettori ortogonali da usare per la scrittura del moto del punto conside- riamo come terzo vettore il versore normale alla superficie N = |le1 × €2| e1 X e2 Presa la terna {e1, e2, N} un vettore di un dato punto si può decomporre come Aver + BuUN = e se sostituiamo questa espressione in a (ep) = aey q^ e poi in (1.6) troviamo la formula: a = (q^ + Tvq" q")ex + Bpvq"¿UN I coefficienti I e B sono simmetrici nello scambio degli indici in basso. Per calcolare i coefficienti TAD, che prendono il nome di simboli di Christoffel, possiamo considerare i coefficienti del tensore metrico Apy e ricordando i valori scritti sopra per ag den otteniamo: aqua - or (en ev) = dauer+ en] dev = Tiep . ev + Ppiep . ep = Thy Apu + Tp_ App I coefficienti Buy definiscono la seconda forma fondamentale della superficie. Permutando ciclica- mente i tre indici e facendo dei lunghi passaggi otteniamo: ρ 2 1 + дон agt , - (1.7) − e se si moltiplica la (1.7) da ambo i lati per la matrice inversa della metrica si ottiene: 1 Γ ρ A 2 + − (1.8) A questo punto possiamo determinare l'equazione del moto del punto e poichè la superficie è liscia la reazione vincolare non dissipa energia, allora la reazione ¢ è sempre perpendicolare alla superficie e allora il moto del punto è dato da: Fep = m(q^+Tvq" q")Axp I moti geodetici sono dei particolari moti in cui i punti sono vincolati a muoversi su una superficie liscia e non sono soggetti a forze attive, quindi l'equazione del moto obbedisce a q^ + TÀ q"q" = 0.

Spazio delle Configurazioni e Equazioni di Lagrange

Data F = mã esistono 2 problemi generali di meccanica classica:

1. Dall'osservazione dei moti di un sistema di punti materiali determinare le forze agenti su di essi;
2. Conoscendo le forze agenti sui punti di un sistema, determinare il moto in funzione dello stato iniziale.

Bisogna prendere in considerazione due cose: la posizione del punto materiale (cioè la terna (x, y, z)) e il suo moto in componenti (ossia (x(t), y(t), z(t))). Ricavando l'accellerazione dalla formula iniziale, si ottiene: #=F(x, ¿¿ ,t) Vi = 1,2,3 (1.9) Lo scopo è di determinare e risolvere un sistema di equazione differenziali ordinarie, ricavando la soluzione generale: x 0 0 ˙ i i ) Il sistema formato da N punti materiali può essere soggetto a due tipi di forze:

• Forze esterne: forze che agiscono separatamente su ciascuno dei punti materiali in funzione della sua posizione e della sua velocità;
• Forze interne: rappresentano l'interazione tra le particelle all'interno del sistema, perciò dipen- dono dalle posizioni reciproche.

Forma Generale delle Equazioni del Moto

Dato il moto del sistema: #'A=F(x), ¿¿ ,t) Vi=1,2,3 A=1, ... , N si hanno in totale 3N equazioni dove si trovano le componenti i-esime della posizione e della forza dell'A-esimo punto del sistema. Consideriamo ora dei sistemi meccanici soggetti a vincoli, i quali si presentano come condizioni sulle velocità e sulle posizioni dei punti. Abbiamo due tipi di vincoli:

• Vincoli posizionali: non vi sono altri vincoli sulle velocità oltre a quelli che derivano dai vincoli sulle posizioni;
• Vincoli bilateri: vincoli rappresentabili tramite equazioni;

I vincoli posizionali avranno la forma di un sistema di k equazioni nelle 3N coordinate dei punti materiali del sistema: fk(x'A,t) =0 i=1,2,3 A=1, ... , N Esistono anche i vincoli indipendenti dal tempo detti vincoli scleronomi. Supporremo sempre che:

1. le k funzioni fk siano differenziabili in tutte le coordinate (ed eventualmente anche in t);
2. il rango della matrice jacobiana afk sia uguale a k in tutti i punti che soddisfano l'equazione del vincolo.

A Possiamo quindi definire lo spazio delle configurazioni del sistema come: 4Definizione 1.1 (Spazio delle configurazioni). Insieme delle posizioni x' compatibili con le equazioni del vincolo, cioè il luogo dei punti di R3N che determinano le equazioni. Sotto la condizione di olonomia lo spazio delle configurazioni può essere descritto da: x' = x'A(q1) Se valgono le due condizioni, si parla allora di vincoli olonomi e quindi sistemi olonomi e possiamo definire n = 3N - k il numero di gradi di libertà del sistema e le q^ le coordinate lagrangiane del sistema. Le funzioni che descrivono la parametrizzazione devono soddisfare:

1. fk(x'(q^)) = 0
2. il rango della matrice jacobiana afk "A è massimo, cioè n.

Ogni possibile moto del sistema sarà rappresentato da una curva di moto nello spazio delle confi- gurazioni. Y:t->q`(t) questa descrive un moto compatibile con il vincolo. La curva di moto di un singolo punto rap- presentativo nello spazio delle configurazioni descrive i moti di tutti i punti materiali del sistema e la velocità del punto espressa dalle n componenti q^ determina in ciascun istante le N velocità dei singoli punti materiali.

Deduzione delle Equazioni di Lagrange

Supponiamo di avere un sistema di N punti materiali, soggetti a K equazioni di vincolo che soddisfano le condizioni di olonomia, parametrizzando il sistema con n coordinate lagrangiane q^. L'energia cinetica totale del sistema è data da: T(q^,¿^,t) = 1 2 N A=1 A=1 = 9pv(q^,t)q"q" +gop(q^,t)q" + goo(q^,t) 1 MAVA . VA = 1 2 N MA "+ "1 ) (a + 2) ( G)= dove 9μν = Oxi dx A (Ci . Cj) MA A=1 N N Oxi ON A (Ci . Cj) Oqu at A=1 1 2 900 = A=1 MA N ImA LA 02A (Ci - Cj) Nel caso di vincoli scleronomi, vale at = 0 e l'energia cinetica si riduce a: T(q},{}) = 29uv(q^)¿"q" Pertanto l'energia cinetica è una funzione omogenea di grado due nelle velocità lagrangiane: Әт agu = λ ν aT q" =2T Scriviamo ora l'equazione della dinamica: mã = F + ® (1.10) 5dove Į = ma - F sono le reazioni vincolari e le F sono le forze attive. Formalizziamo l'ipotesi che i vincoli siano privi di attrito. Questa ipotesi, nei casi di sistemi scleronomi, significa che le reazioni vincolari non compiono lavoro, cioè: PAUA= 0 (1.11) dove uA è un vettore che rappresenta uno spostamento infinitesimo. Se андiamo a scrivere lo spo- stamento virtuale infinitesimo del punto rispetto al vincolo abbiamo uA = OgAu^ci allora riscrivendo la (1.10) con (1.11), si ottiene: MAGA . UA = FA . UA Considerando tutti i punti del sistema, risulta: N MAGA . UA = N A=1 FA . UA A=1 Possiamo riscrivere il membro sinistro: N ∂ EmAQUA . UA = A=1 N A=1 05 a ) λ Se supponiamo che le forze siano conservative cioè EU = U (x2) detto potenziale tale che F = VU, il membro destro risulta: FA . UA= ax' i u A A λ (1.12) Per la regola di derivazione di funzioni composte: au = 2 au du's A=1 A e si ha: N FA . UA= au u (1.13) λ A=1 Comparando le equazioni (1.12) e (1.13), si ottiene: N ∂ oui que+ at1) 0 1( c)= au (1.14) Potendo riscriverle usando l'espressione dell'energia cinetica si ha: aT agd = N d'A git + x"A) ON'A(Ca . Cz) e quindi: d dt OT λ dat ot) ? N = >maat d A=1 A=1 ar'A (ci . cj) + > N mA дон A + A dt dqs d Ox'A (Ci . Cj) Notiamo che la prima parte conicide con (1.14). Esplicitando la derivata temporale nella seconda sommatoria, otteniamo: 6 at A=1 A=1 N