Rotolamento di un corpo rigido e momento angolare, Presentazione UNIPR

Lezione 15

Rotolamento di un corpo rigido

• Energia cinetica di rotazione e momento d'inerzia
• Momento d'inerzia di un sistema di punti materiali

Momento d'inerzia di un sistema continuo

Lezione 14

• Momento angolare di un punto materiale
• Momento angolare di un sistema di punti materiali

. Equazione cardinale meccanica per moto rotatorio . Momento angolare corpo rigido rispetto a cm . Momento angolare corpo rigido rispetto a generico punto . Parallelismo moto rotatorio e traslatorio in dinamica Cap. 13 Gettys P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 1 Cap. 12 Gettys

Esempio di calcolo del momento d'inerzia

Due sfere piene identiche di massa M e raggio r sono saldate assieme su un punto del loro perimetro esterno. Il corpo rigido così ottenuto è lasciato libero di ruotare attorno ad un asse tangente ad una delle due sfere e ortogonale alla retta che ne congiunge i centri. Determinare il momento d'inerzia del corpo rigido relativo a tale asse. P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 2

Come si mette in rotazione un corpo?

Considerazioni qualitative sulla rotazione

Come faccio a cambiare la velocità angolare di un corpo? Da equilibrio rotatorio, sappiamo che saranno coinvolte: (i) le Fest,i agenti sul corpo considerato (ii) loro punti di applicazione rispetto all'asse di rotazione O (iii) l'angolo tra la retta congiungente i punti di applicazione delle Fest.i ad O ed i vettori forza Sarà coinvolto il momento torcente ? = 7 x F Sarà coinvolto il momento d'inerzia (nel corpo rigido) Io = Emiri 5-115 P O rı Abbiamo visto che i principi della dinamica nel moto traslatorio possono essere enunciati partendo dalla definizione di quantità di moto p = mv -- > Partiamo dalla definizione del suo analogo nel moto rotatorio: il momento angolare P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 3

Momento angolare di un punto materiale

Definizione del vettore momento angolare

Consideriamo una particella (punto materiale) di massa m che si sta muovendo con una velocità 1 -- > p = mv Possiamo definire il suo vettore momento angolare L rispetto ad un generico punto di riferimento O (origine) come: Lo=ř×ʼ Ha le dimensioni [ML2T-1] e si misura in L Kgm2] m2 Il suo modulo può essere espresso come: |L.| = Lo = rp sin $ = (r sin ?)mv = rm (v sin ?) La sua direzione è sempre ortogonale (prodotto vettoriale) al piano definito dai due vettori ? e p -- > dal momento che noi li consideriamo sempre giacenti sul piano xy, il vettore Lo sarà sempre orientato lungo l'asse z. Il suo verso è dato dalla regola della mano destra Z € (=r Xp) p (ridisegnato, con la coda all'origine) 0 y r P1 ¢ P A x (a) Z 4 e 0 y r P A Estensione di p x P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 4

Momento angolare di un punto materiale: considerazioni generali

Dipendenza dal punto di riferimento

Se sposto il mio generico punto di riferimento rispetto al quale calcolo il momento angolare del punto materiale da O a Q e questa nuova origine si trova lungo retta di azione del vettore p (0 1), allora -- > Lo = 7 x p = 0 + L. A differenza della quantità di moto, il momento angolare non è una proprietà intrinseca del punto materiale studiato, ma dipende dal punto scelto come origine del calcolo Z z e 0 y r T p A Q Estensione di p x y y [m] + · 11(t) 12(t) ◌⃗ θ ~2 (t) θ ř1 (t) ৳3(t) ř3 (t) x [m] O Es. Punto materiale in moto parabolico Lo = 0 al tempo t=0 (vettore posizione non ha lunghezza rispetto al punto scelto per valutare il momento angolare). In questo caso il vettore velocità cambia continuamente e di conseguenza cambia continuamente Lo P. Mazzolini v. Fisica I - LT Chimica 5 4 x

Momento angolare di un punto materiale in moto circolare

Calcolo rispetto al centro della circonferenza

Consideriamo punto materiale m che gira su orbita circolare su piano xy. Il momento angolare di m potrebbe essere calcolato rispetto a qualsiasi punto, MA ce n'è uno in particolare per il quale è particolarmente vantaggioso farlo: centro circonferenza O -- > T calcolato rispetto ad O (modulo R costante) e 1 saranno sempre ortogonali tra loro WR Lo = rp sin 0 = Rmv = mR200 Con Lo orientato lungo z (verso regola mano dx) -- > Lo = Lz,0k = mR2wz k y z Lo B1 m ◌⃗ R O x ! Quando il moto circolare della particella è circolare uniforme (w = cost), allora anche il momento angolare è costante rispetto al centro della circonferenza Lo = cost (solo rispetto ad O!) Altro caso particolare di momento angolare costante -- > particella in moto rettilineo uniforme (v = cost) ha momento angolare sempre diverso da zero a meno di avere l'origine lungo la retta d'azione di p e sempre costante: Lo = Lz,ok = rp sin 0 = rmv sin 0 = cost y Particella To p r 0 O X Z P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 6

Secondo principio della dinamica in forma angolare

Relazione tra momento angolare e momento torcente

Sappiamo esprimere il secondo principio della dinamica tramite la p di un punto materiale su cui agiscono diverse forze E F = ap -- > se una forza netta agisce su una particella, allora questa deve cambiare la sua quantità di moto. dt dp Concentriamoci ora sulla variazione nel tempo del momento angolare della particella m rispetto al generico punto O dLo at -at(~xp) dĽ0 dt = dr dt ×p)+rx ◌⃗ = 7X dp dt =ř×> F 15 B -- > ◌⃗ parallelo a p So che il momento torcente netto agente su una particella distante r rispetto al generico punto O considerato vale: ΣΤΟ = ** Σ' ◌⃗ Σ そ = dLo dt Se vi è un momento torcente netto agente sul punto materiale considerato rispetto al generico punto O, allora questo dovrà variare il suo momento angolare calcolato rispetto allo stesso punto P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 7

Momento angolare di un sistema di punti materiali

Sommatoria dei momenti angolari individuali

Sistema costituito da diversi punti materiali con forze interne (attrattive-repulsive) ed esterne agenti su di essi. Scegliamo un punto di riferimento O -- > Il momento angolare per un sistema di punti materiali interagenti è dato dalla sommatoria dei singoli momenti angolari dei punti materiali rispetto al punto scelto O: Lnet,o = > Li,o i=1 n Analogamente possiamo valutare la variazione di momento angolare del sistema di punti materiali: dt dĽnet,0 = i=1 n dLi,o AL10 = ETio = inet,o Sappiamo che i momenti torcenti si valutano in funzione delle diverse forze agenti sulle singole masse e delle loro distanze rispetto ad O -- > Eti,o = ETi,o X Fi Essendoci in gioco forze interne (attrattive e repulsive tra le particelle stesse) ed esterne, possiamo trovare due momenti torcenti netti rispetto a O -- > Tnet est,o e Tnet int,0 Per la terza legge di Newton (principio azione-reazione) le forze interne ed i momenti delle forze interne associate si elidono a coppie -- > Inet int,o = 0 > dLnet,0 = E Test,Oi dt P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 8 ji ři O

Equazioni cardinali della meccanica

Validità e condizioni delle equazioni

dĽ0 = Test,0 Questa equazione è valida prendendo un qualsiasi punto di origine O per il sistema di punti materiali considerato solo se questo punto O non sta accelerando (il mio sistema di riferimento con origine in O deve essere inerziale). Altrimenti l'equazione è sempre valida se il punto O scelto coincide con il centro di massa del sistema di punti considerato (7CM = = mit) Emity Possiamo quindi scrivere le due equazioni cardinali della meccanica che costituiscono condizione necessaria nello studio della dinamica (traslazione e rotazione) di un sistema di punti materiali (o di un corpo rigido esteso) Trasl. Festi = dptot dt Rot. Test,0i = dt Se le risultanti delle forze esterne e quella dei momenti torcenti delle forze (valutata rispetto ad un origine O coincidente con il cm) non sono nulle, allora il sistema sta variando la sua quantità di moto totale ed il suo momento angolare nel tempo dĽtot.o tot,0 P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 9

Esempio di calcolo del momento angolare

Pallina in moto su anello metallico

Pallina forata di massa m = 72 g libera di viaggiare su un anello metallico di raggio R = 0,93 m in verticale (sotto effetto di g) Determinare il momento angolare della pallina rispetto al centro dell'anello metallico Lo quando transita nel punto B (vedi figura) considerando che la pallina parte da ferma dal punto A definito da 0 = 0,87 rad (no attrito) y A θ B O x R v P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 10

Corpo rigido in rotazione attorno ad un asse fisso

Momento angolare di un disco sottile

Fino ad ora (L15) discussi il momento angolare e la sua variazione nel tempo (i) di un punto materiale e (ii) di un sistema di punti materiali interagenti Consideriamo un disco pieno (corpo rigido) molto sottile (ipotizziamolo 2d) che ruota attorno ad un asse di rotazione fisso z passante per il suo cm ad una certa w > voglio conoscere il momento angolare di questo disco rispetto al cm, ovvero il punto (ip. 2d) passante per il suo asse z di rotazione L cm Dividiamo il disco in piccoli elementi di massa Ami. Ogni Ami sta compiendo traiettoria circolare -- > pi è sempre ortogonale a fi Licm =?¿ ×á Direzione del vettore Li cm sarà ortogonale a entrambi Ti e Pi > puramente lungo z Licm = Lzicm Verso del vettore Li cm secondo regola mano dx (qua uscente, +) Modulo -> Lzi cm = Tipi Sin (1 /2) = ri(Amivi) = AmiriWz Vi = Tid y Pi Ami ři x cm 1 P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 11

Corpo rigido in rotazione attorno ad un asse fisso

Momento angolare totale del disco

Lzi cm = Amiri Wz Posso calcolare il modulo del momento angolare totale del disco rispetto al suo centro di massa sommando tutti i contributi delle n i-esime masse Ami stessa per tutti i Ami n n 2 Lz,tot cm = Amiri WZ = WZ Amiri ICM i=1 i=1 L "z,tot cm = ICMWz Questo momento angolare sarebbe diverso se calcolato per un altro punto generico O, sempre passante per l'asse di rotazione z? Oppure è una proprietà "intrinseca" del corpo una volta scelto il suo asse di rotazione? y Pi Ami ři x cm 1 P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 12